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RAMANUJAN FORMULA ATLAS / 2026

RAMANUJAN-DERIVED POLAR FIELDS

FormulaAtlas

このサイトは、ラマヌジャンに関係する数式と、その数学的な要素から組み立てた実験関数を、複素数の円盤上で計算して模様に変える可視化アトラスです。60の関数を三つの方法で色に置き換え、全180画像を比較します。

No. 22 spherical derivative visualization / No. 22 正規化微分場
MOCK–DELTA SCALE WRONSKIANPATTERN 066 / 180 · C
このアトラスのしくみ

数式を一本の線ではなく、
円盤全体の
「色の場」として見る。

これらは r = f(θ) のような一本の極座標曲線ではありません。各式の円盤内にある有効なサンプル位置を複素数 q = ρeiθ として読み、中心からの距離 ρ と角度 θ を入力に f(q) を計算します。その答えを色へ変換すると、値の成長、零点や極、位相の巻き付き、急激に変化する領域が模様として現れます。計算領域の外や有効な数値を得られない点はマスクして除外します。各式は、固定した有限の数値計算条件と有界な半径領域で評価し、共通の円形フレームと描画方式で表示します。

入力 / INPUT

有効な計算領域をサンプルする

中心からの距離と角度が複素数 q の入力になります。有効な各画素が数値サンプルとなり、除外領域や未定義点はマスクされます。そのため、この画像は一本の軌道ではなく、関数を数値的に標本化した地図です。

色へ変換 / TRANSLATE

一つの答えを三つの視点で見る

Aは値の大きさ、Bは複素数としての向き、Cは急激に変化する場所を示します。一つの表示では隠れる性質を、三つの相補的な画像で観察します。

比較 / COMPARE

全180画像を比べる

可視複雑度は色の多様さと細かな局所変化を組み合わせた0–100の画像指標です。順位はA・B・Cそれぞれの中だけで比較します。数式の難しさ、重要性、正しさ、美しさの採点ではありません。

60件の出典内訳

内訳は、ラマヌジャンに直接由来する3件、モジュラー形式とq級数の周辺にある7件、本プロジェクトで再合成した探索関数49件、比較用の非ラマヌジャン対照1件です。49件の探索関数は、ラマヌジャン本人が残した公式ではありません。

60検証した数式
180公開する極座標模様
3各式の表示方式 A / B / C
02公開セクション：数式＋複雑度
01 / FORMULA ATLAS

全公式を読む。
全180模様を見る。

60式を、固定した有限の数値計算条件と有界な半径領域で評価し、A＝対数絶対値、B＝複素位相、C＝正規化微分場の3方式へ展開しました。以下では全レンダリングを公開し、代表画像への置き換えや選別を行いません。

3ラマヌジャン直接由来
7モジュラー形式の文脈
49探索ノート固有実験
1明示した非ラマヌジャン対照
各式の3表示

AとCは固定した科学カラーマップを使う。Bは位相が−πから+πへ循環するため循環色とする。アトラス全体で同じrendererと720 × 720出力契約を使う。

A

対数絶対値

IA(q)=log⁡(1+∣f(q)∣)I_A(q)=\log(1+|f(q)|)

値の成長、零点、極の配置を知覚的に単調な明度で比較する。

B

複素位相

IB(q)=arg⁡f(q)I_B(q)=\arg f(q)

偏角を循環色へ写し、位相の巻き付きと特異点周辺の流れを見る。

C

正規化微分場

IC(q)=∣f′(q)∣/(1+∣f(q)∣2)I_C(q)=|f'(q)|/(1+|f(q)|^2)

値の大きさに埋もれず、局所的な変化率が高い領域を抽出する。

01
ラマヌジャン／ロジャース共有由来

ロジャース–ラマヌジャン連分数

Rogers–Ramanujan Continued Fraction

五次の剰余類が分子と分母へ交互に現れ、境界へ近づくほど細かな位相領域が形成される。

公式
R(q)=q1/5∏n=1∞(1−q5n−4)(1−q5n−1)(1−q5n−3)(1−q5n−2)R(q)=q^{1/5}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(1-q^{5n-4})(1-q^{5n-1})}{(1-q^{5n-3})(1-q^{5n-2})}
数値化条件
q=reiθ,  0≤r≤0.97,  N=48q=re^{i\theta},\;0\le r\le0.97,\;N=48
No. 01 Log magnitude / ロジャース–ラマヌジャン連分数 対数絶対値 A
PATTERN 001 / 180 対数絶対値
可視複雑度14.833
H 0.354 · E 0.0057 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 01 Complex phase / ロジャース–ラマヌジャン連分数 複素位相 B
PATTERN 002 / 180 複素位相
可視複雑度1.086
H 0.472 · E 0.0064 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 01 Normalized derivative field / ロジャース–ラマヌジャン連分数 正規化微分場 C
PATTERN 003 / 180 正規化微分場
可視複雑度61.518
H 0.408 · E 0.0123 · VALID 99.5% · RANKING対象

Rogersとの共有帰属。q^{1/5} は主値を使用するため、負の実軸に枝切りが現れる。

02
ラマヌジャン直接由来

ラマヌジャンのモックテータ関数 f

Ramanujan Mock Theta Function f

n²指数と有限q積の分母が競合し、単位円境界に向かって局所構造が急増する。

公式
f(q)=1+∑n=1∞qn2(−q;q)n2,(a;q)n=∏k=0n−1(1−aqk)f(q)=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n^2}}{(-q;q)_n^2},\quad(a;q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^k)
数値化条件
q=reiθ,  0≤r≤0.96,  N=20q=re^{i\theta},\;0\le r\le0.96,\;N=20
No. 02 Log magnitude / ラマヌジャンのモックテータ関数 f 対数絶対値 A
PATTERN 004 / 180 対数絶対値
可視複雑度14.467
H 0.345 · E 0.0057 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 02 Complex phase / ラマヌジャンのモックテータ関数 f 複素位相 B
PATTERN 005 / 180 複素位相
可視複雑度0.204
H 0.464 · E 0.0063 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 02 Normalized derivative field / ラマヌジャンのモックテータ関数 f 正規化微分場 C
PATTERN 006 / 180 正規化微分場
可視複雑度41.547
H 0.396 · E 0.0102 · VALID 99.5% · RANKING対象

分母が小さくなる標本は singular mask として分離する。

03
ラマヌジャン直接由来

ラマヌジャンのデルタ関数とタウ関数

Ramanujan Delta and Tau Function

24乗されたEuler積が多数の零点方向を強調し、τ(n)を係数に持つモジュラー形式を円盤上で見る。

公式
Δ(q)=q∏n=1∞(1−qn)24=∑n=1∞τ(n)qn\Delta(q)=q\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)^{24}=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(n)q^n
数値化条件
q=reiθ,  0≤r≤0.97,  N=52q=re^{i\theta},\;0\le r\le0.97,\;N=52
No. 03 Log magnitude / ラマヌジャンのデルタ関数とタウ関数 対数絶対値 A
PATTERN 007 / 180 対数絶対値
可視複雑度90.365
H 0.411 · E 0.0120 · VALID 99.7% · RANKING対象
No. 03 Complex phase / ラマヌジャンのデルタ関数とタウ関数 複素位相 B
PATTERN 008 / 180 複素位相
可視複雑度95.711
H 0.726 · E 0.0554 · VALID 92.4% · RANKING対象
No. 03 Normalized derivative field / ラマヌジャンのデルタ関数とタウ関数 正規化微分場 C
PATTERN 009 / 180 正規化微分場
可視複雑度41.708
H 0.201 · E 0.0148 · VALID 99.1% · RANKING対象

τ(n)の離散列ではなく、同じ生成関数 Δ(q) の複素値を描画する。

04
モジュラー文脈

デデキントのエータ関数

Dedekind Eta Function

ラマヌジャン研究と密接なモジュラー形式の基本関数だが、公式の帰属はDedekindである。

公式
η(τ)=eπiτ/12∏n=1∞(1−e2πinτ)\eta(\tau)=e^{\pi i\tau/12}\prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{2\pi i n\tau})
数値化条件
q=e2πiτ;  η(q)=q1/24∏n=152(1−qn)q=e^{2\pi i\tau};\;\eta(q)=q^{1/24}\prod_{n=1}^{52}(1-q^n)
No. 04 Log magnitude / デデキントのエータ関数 対数絶対値 A
PATTERN 010 / 180 対数絶対値
可視複雑度90.813
H 0.451 · E 0.0108 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 04 Complex phase / デデキントのエータ関数 複素位相 B
PATTERN 011 / 180 複素位相
可視複雑度23.289
H 0.632 · E 0.0096 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 04 Normalized derivative field / デデキントのエータ関数 正規化微分場 C
PATTERN 012 / 180 正規化微分場
可視複雑度58.715
H 0.411 · E 0.0119 · VALID 99.5% · RANKING対象

q^{1/24} は主値。ノート中のeta quotientのモジュラー性はここでは主張しない。

05
ラマヌジャン研究文脈

分割数の母関数

Partition Generating Function

Eulerの母関数を、ラマヌジャンの分割合同式へつながる解析対象として可視化する。

公式
P(q)=∏n=1∞11−qn=∑n=0∞p(n)qnP(q)=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-q^n}=\sum_{n=0}^{\infty}p(n)q^n
数値化条件
q=reiθ,  0≤r≤0.965,  N=52q=re^{i\theta},\;0\le r\le0.965,\;N=52
No. 05 Log magnitude / 分割数の母関数 対数絶対値 A
PATTERN 013 / 180 対数絶対値
可視複雑度0.000
H 0.249 · E 0.0040 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 05 Complex phase / 分割数の母関数 複素位相 B
PATTERN 014 / 180 複素位相
可視複雑度0.000
H 0.381 · E 0.0065 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 05 Normalized derivative field / 分割数の母関数 正規化微分場 C
PATTERN 015 / 180 正規化微分場
可視複雑度53.325
H 0.412 · E 0.0113 · VALID 99.5% · RANKING対象

式自体はEuler由来。5・7・11以外の法に単純なRamanujan合同を仮定しない。

06
モジュラー文脈

ヤコビのテータ関数

Jacobi Theta Function

二次指数が作る干渉構造を、固定したzと複素nome qの円盤として調べる。

公式
ϑ(z,τ)=∑n=−∞∞eπin2τ+2πinz\vartheta(z,\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{\pi i n^2\tau+2\pi i n z}
数値化条件
ϑ(z,q)=∑n=−1414qn2e2inz,z=0.37\vartheta(z,q)=\sum_{n=-14}^{14}q^{n^2}e^{2inz},\quad z=0.37
No. 06 Log magnitude / ヤコビのテータ関数 対数絶対値 A
PATTERN 016 / 180 対数絶対値
可視複雑度77.158
H 0.445 · E 0.0093 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 06 Complex phase / ヤコビのテータ関数 複素位相 B
PATTERN 017 / 180 複素位相
可視複雑度21.334
H 0.661 · E 0.0086 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 06 Normalized derivative field / ヤコビのテータ関数 正規化微分場 C
PATTERN 018 / 180 正規化微分場
可視複雑度51.238
H 0.389 · E 0.0113 · VALID 99.5% · RANKING対象

Jacobi帰属。Ramanujan固有式ではなく、共通するtheta／modular文法の比較対象。

07
モジュラー文脈

アイゼンシュタイン級数の合成

Eisenstein Series Composite

E₄とE₆を独立に級数評価し、その差が作るモジュラー構造を表示する。

公式
E4=1+240∑n≥1σ3(n)qn,E6=1−504∑n≥1σ5(n)qn,F=E43−E62E_4=1+240\sum_{n\ge1}\sigma_3(n)q^n,\quad E_6=1-504\sum_{n\ge1}\sigma_5(n)q^n,\quad F=E_4^3-E_6^2
数値化条件
q=reiθ,  N=34;F(q)=E4(q)3−E6(q)2q=re^{i\theta},\;N=34;\quad F(q)=E_4(q)^3-E_6(q)^2
No. 07 Log magnitude / アイゼンシュタイン級数の合成 対数絶対値 A
PATTERN 019 / 180 対数絶対値
可視複雑度93.386
H 0.443 · E 0.0111 · VALID 99.7% · RANKING対象
No. 07 Complex phase / アイゼンシュタイン級数の合成 複素位相 B
PATTERN 020 / 180 複素位相
可視複雑度100.000
H 0.764 · E 0.0563 · VALID 92.5% · RANKING対象
No. 07 Normalized derivative field / アイゼンシュタイン級数の合成 正規化微分場 C
PATTERN 021 / 180 正規化微分場
可視複雑度0.000
H 0.114 · E 0.0107 · VALID 99.1% · RANKING対象

F=1728Δという既知の恒等式があるため、03との類似は正常な検証結果。

08
モジュラー文脈

クラインのモジュラーj不変量

Klein Modular j-Invariant

零点と極の間で値域が急変するため、圧縮後も強い位相巻き付きが残る。

公式
j(τ)=1728E4(τ)3E4(τ)3−E6(τ)2j(\tau)=1728\frac{E_4(\tau)^3}{E_4(\tau)^3-E_6(\tau)^2}
数値化条件
q=reiθ,  0.025≤r≤0.94,  N=34q=re^{i\theta},\;0.025\le r\le0.94,\;N=34
No. 08 Log magnitude / クラインのモジュラーj不変量 対数絶対値 A
PATTERN 022 / 180 対数絶対値
可視複雑度57.577
H 0.387 · E 0.0085 · VALID 93.4% · RANKING対象
No. 08 Complex phase / クラインのモジュラーj不変量 複素位相 B
PATTERN 023 / 180 複素位相
可視複雑度82.834
H 0.660 · E 0.0638 · VALID 93.4% · RANKING対象
No. 08 Normalized derivative field / クラインのモジュラーj不変量 正規化微分場 C
PATTERN 024 / 180 正規化微分場
可視複雑度0.000
H 0.071 · E 0.0075 · VALID 92.8% · RANKING対象

Klein帰属。q=0の極は中央maskとして表示する。

09
q級数文脈

オイラー関数の積合成

Euler Function Composite

2・3・5倍の周波数を持つEuler積を重ね、単独積より複雑な零点の干渉を作る。

公式
ϕ(q)=∏n=1∞(1−qn)\phi(q)=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)
数値化条件
Φ(q)=ϕ(q2)ϕ(q3)ϕ(q5),N=42\Phi(q)=\phi(q^2)\phi(q^3)\phi(q^5),\quad N=42
No. 09 Log magnitude / オイラー関数の積合成 対数絶対値 A
PATTERN 025 / 180 対数絶対値
可視複雑度50.366
H 0.320 · E 0.0104 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 09 Complex phase / オイラー関数の積合成 複素位相 B
PATTERN 026 / 180 複素位相
可視複雑度20.001
H 0.543 · E 0.0114 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 09 Normalized derivative field / オイラー関数の積合成 正規化微分場 C
PATTERN 027 / 180 正規化微分場
可視複雑度69.103
H 0.425 · E 0.0131 · VALID 99.5% · RANKING対象

Euler帰属。ここではノートに提案された積合成を評価する。

10
算術q級数文脈

メビウス重み付きランベルト級数

Möbius-Weighted Lambert Series

メビウス係数を選ぶと約数和恒等式によって無限級数は厳密にqへ縮退する。単純な画像は計算失敗ではなく検証結果。

公式
L(q)=∑n=1∞anqn1−qn,an=μ(n)L(q)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_nq^n}{1-q^n},\quad a_n=\mu(n)
数値化条件
an=μ(n),  q=reiθ,  N=48a_n=\mu(n),\;q=re^{i\theta},\;N=48
No. 10 Log magnitude / メビウス重み付きランベルト級数 対数絶対値 A
PATTERN 028 / 180 対数絶対値
可視複雑度93.475
H 0.472 · E 0.0111 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 10 Complex phase / メビウス重み付きランベルト級数 複素位相 B
PATTERN 029 / 180 複素位相
可視複雑度21.213
H 0.779 · E 0.0079 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 10 Normalized derivative field / メビウス重み付きランベルト級数 正規化微分場 C
PATTERN 030 / 180 正規化微分場
可視複雑度59.272
H 0.307 · E 0.0141 · VALID 99.5% · RANKING対象

Σ μ(n)q^n/(1−q^n)=q。標準的Lambert級数で、ラマヌジャン固有公式ではない。

11
探索ノート固有実験

二次q級数の人工関数族

Quadratic q-Series Family

mock thetaの二次指数とq積分母の文法を借り、パラメトリックに拡張した作品探索用の人工関数族。

公式
Fa,b,m(q)=∑n=0∞qan2+bn(−q;q)nmF_{a,b,m}(q)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{an^2+bn}}{(-q;q)_n^m}
数値化条件
a=2,  b=1,  m=2,  N=18a=2,\;b=1,\;m=2,\;N=18
No. 11 Log magnitude / 二次q級数の人工関数族 対数絶対値 A
PATTERN 031 / 180 対数絶対値
可視複雑度1.074
H 0.259 · E 0.0057 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 11 Complex phase / 二次q級数の人工関数族 複素位相 B
PATTERN 032 / 180 複素位相
可視複雑度0.000
H 0.350 · E 0.0058 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 11 Normalized derivative field / 二次q級数の人工関数族 正規化微分場 C
PATTERN 033 / 180 正規化微分場
可視複雑度42.322
H 0.382 · E 0.0104 · VALID 99.5% · RANKING対象

一般のパラメータでmock modular性は保証されないため、mock関数とは呼ばない。

12
探索ノート固有実験

剰余類積の人工関数族

Residue Product Family

Rogers–Ramanujan積の剰余類選択を7進へ拡張し、帯状の零点・極配置を探索する。

公式
Gp,A,B(q)=∏n=0∞∏a∈A(1−qpn+a)∏b∈B(1−qpn+b)G_{p,A,B}(q)=\prod_{n=0}^{\infty}\frac{\prod_{a\in A}(1-q^{pn+a})}{\prod_{b\in B}(1-q^{pn+b})}
数値化条件
p=7,  A={1,6},  B={2,5},  N=34p=7,\;A=\{1,6\},\;B=\{2,5\},\;N=34
No. 12 Log magnitude / 剰余類積の人工関数族 対数絶対値 A
PATTERN 034 / 180 対数絶対値
可視複雑度4.096
H 0.366 · E 0.0054 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 12 Complex phase / 剰余類積の人工関数族 複素位相 B
PATTERN 035 / 180 複素位相
可視複雑度0.000
H 0.508 · E 0.0055 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 12 Normalized derivative field / 剰余類積の人工関数族 正規化微分場 C
PATTERN 036 / 180 正規化微分場
可視複雑度58.206
H 0.426 · E 0.0117 · VALID 99.5% · RANKING対象

Rogers–Ramanujan型の人工拡張で、既知恒等式としては扱わない。

13
探索ノート固有実験

重み付き無限積

Weighted Infinite Product

高次の因子ほど指数を増やし、境界付近の細かな零点方向を強く選択する。

公式
Hα,β(q)=∏n=1∞(1−qn)αn+βH_{\alpha,\beta}(q)=\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)^{\alpha n+\beta}
数値化条件
α=1,  β=0,  N=36\alpha=1,\;\beta=0,\;N=36
No. 13 Log magnitude / 重み付き無限積 対数絶対値 A
PATTERN 037 / 180 対数絶対値
可視複雑度9.076
H 0.263 · E 0.0077 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 13 Complex phase / 重み付き無限積 複素位相 B
PATTERN 038 / 180 複素位相
可視複雑度0.000
H 0.442 · E 0.0193 · VALID 99.5% · RANKING対象
No. 13 Normalized derivative field / 重み付き無限積 正規化微分場 C
PATTERN 039 / 180 正規化微分場
可視複雑度91.331
H 0.410 · E 0.0184 · VALID 99.5% · RANKING対象

Euler積の人工的重み付け。

14
探索ノート固有実験

素数ゲート付きq級数

Prime-Gated q-Series

素数位置の二次周波数だけを残し、非周期的な位相干渉を生成する。

公式
Q(q)=∑n=1∞χP(n)qn2Q(q)=\sum_{n=1}^{\infty}\chi_{\mathbb P}(n)q^{n^2}
数値化条件
n≤47,  n prime,  q=reiθn\le47,\;n\text{ prime},\;q=re^{i\theta}
No. 14 Log magnitude / 素数ゲート付きq級数 対数絶対値 A
PATTERN 040 / 180 対数絶対値
可視複雑度76.471
H 0.409 · E 0.0101 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 14 Complex phase / 素数ゲート付きq級数 複素位相 B
PATTERN 041 / 180 複素位相
可視複雑度31.684
H 0.687 · E 0.0109 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 14 Normalized derivative field / 素数ゲート付きq級数 正規化微分場 C
PATTERN 042 / 180 正規化微分場
可視複雑度70.872
H 0.458 · E 0.0129 · VALID 99.5% · RANKING対象

ΣχP(n)q^{n²} と Σq^{p_n²} は同じ級数の別表記。

15
探索ノート固有実験

メビウス位相級数

Möbius Phase Series

μ(n)の0と符号反転が、二次周波数の欠落と反位相として現れる。

公式
M(q)=∑n=1∞μ(n)qn2M(q)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(n)q^{n^2}
数値化条件
n≤42,  q=reiθn\le42,\;q=re^{i\theta}
No. 15 Log magnitude / メビウス位相級数 対数絶対値 A
PATTERN 043 / 180 対数絶対値
可視複雑度69.582
H 0.407 · E 0.0093 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 15 Complex phase / メビウス位相級数 複素位相 B
PATTERN 044 / 180 複素位相
可視複雑度22.165
H 0.721 · E 0.0082 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 15 Normalized derivative field / メビウス位相級数 正規化微分場 C
PATTERN 045 / 180 正規化微分場
可視複雑度58.004
H 0.374 · E 0.0124 · VALID 99.5% · RANKING対象

算術関数を用いたノート固有の可視化級数。

16
探索ノート固有実験

約数重み付き場

Divisor-Weighted Field

約数和が二次周波数ごとの振幅となり、合成数の豊かな層を強調する。

公式
Dk(q)=∑n=1∞σk(n)qn2,σk(n)=∑d∣ndkD_k(q)=\sum_{n=1}^{\infty}\sigma_k(n)q^{n^2},\quad\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}d^k
数値化条件
k=1,  n≤36,  q=reiθk=1,\;n\le36,\;q=re^{i\theta}
No. 16 Log magnitude / 約数重み付き場 対数絶対値 A
PATTERN 046 / 180 対数絶対値
可視複雑度90.312
H 0.411 · E 0.0120 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 16 Complex phase / 約数重み付き場 複素位相 B
PATTERN 047 / 180 複素位相
可視複雑度34.778
H 0.691 · E 0.0118 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 16 Normalized derivative field / 約数重み付き場 正規化微分場 C
PATTERN 048 / 180 正規化微分場
可視複雑度66.934
H 0.398 · E 0.0133 · VALID 99.5% · RANKING対象

Eisenstein級数の係数文法を二次指数へ移した人工場。

17
探索ノート固有実験

分割数偶奇による交代場

Alternating Partition Field

分割数の偶奇だけを位相符号として残し、予測しにくい二次干渉へ変換する。

公式
A(q)=∑n=0∞(−1)p(n)qn2A(q)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{p(n)}q^{n^2}
数値化条件
n≤38,  p(n) exact integer recurrencen\le38,\;p(n)\text{ exact integer recurrence}
No. 17 Log magnitude / 分割数偶奇による交代場 対数絶対値 A
PATTERN 049 / 180 対数絶対値
可視複雑度59.588
H 0.407 · E 0.0083 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 17 Complex phase / 分割数偶奇による交代場 複素位相 B
PATTERN 050 / 180 複素位相
可視複雑度10.267
H 0.592 · E 0.0071 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 17 Normalized derivative field / 分割数偶奇による交代場 正規化微分場 C
PATTERN 051 / 180 正規化微分場
可視複雑度66.910
H 0.414 · E 0.0130 · VALID 99.5% · RANKING対象

p(n)は近似せず整数漸化式で事前計算する。

18
非ラマヌジャン対照

入れ子q指数 — 対照

Nested q-Exponential — Control

探索ノート自身がラマヌジャン公式ではないと明記するため、帰属境界を確認する対照としてのみ掲載する。

公式
N(q)=q1+q2+q3+q4+⋯N(q)=q^{1+q^{2+q^{3+q^{4+\cdots}}}}
数値化条件
principal complex power,  depth=14\text{principal complex power},\;\text{depth}=14
No. 18 Log magnitude / 入れ子q指数 — 対照 対数絶対値 A
PATTERN 052 / 180 対数絶対値
可視複雑度49.080
H 0.370 · E 0.0080 · VALID 99.6% · RANKING対象
No. 18 Complex phase / 入れ子q指数 — 対照 複素位相 B
PATTERN 053 / 180 複素位相
可視複雑度23.478
H 0.605 · E 0.0103 · VALID 99.5% · RANKING対象
No. 18 Normalized derivative field / 入れ子q指数 — 対照 正規化微分場 C
PATTERN 054 / 180 正規化微分場
可視複雑度67.247
H 0.408 · E 0.0131 · VALID 99.0% · RANKING対象

Ramanujan候補の選定対象から除外。複素冪は各段で主値を使う。

19
探索ノート固有実験

自己索引付きq級数

Self-Indexed q-Series

分割数を係数でなく指数へ埋め込み、周波数間隔そのものを算術列で変形する。

公式
S(q)=∑n=1∞qn2+p(n)S(q)=\sum_{n=1}^{\infty}q^{n^2+p(n)}
数値化条件
n≤20,  p(n) exact integer recurrencen\le20,\;p(n)\text{ exact integer recurrence}
No. 19 Log magnitude / 自己索引付きq級数 対数絶対値 A
PATTERN 055 / 180 対数絶対値
可視複雑度71.652
H 0.415 · E 0.0094 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 19 Complex phase / 自己索引付きq級数 複素位相 B
PATTERN 056 / 180 複素位相
可視複雑度26.937
H 0.705 · E 0.0094 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 19 Normalized derivative field / 自己索引付きq級数 正規化微分場 C
PATTERN 057 / 180 正規化微分場
可視複雑度63.740
H 0.419 · E 0.0125 · VALID 99.5% · RANKING対象

本図は非加重版。τ(n)加重版は20番と重複するため分離する。

20
探索ノート固有実験

タウ・分割数の人工合成場

Tau–Partition Composite Field

τ(n)、p(n)、有限q積を一つの複素級数へ同居させた、ノートで最も密度の高い人工関数。

公式
R(q)=∑n=1∞τ(n)qn2+p(n)(1+q)(1+q2)⋯(1+qn)\mathcal R(q)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)q^{n^2+p(n)}}{(1+q)(1+q^2)\cdots(1+q^n)}
数値化条件
n≤16,  τ(n),p(n) exact coefficient tablesn\le16,\;\tau(n),p(n)\text{ exact coefficient tables}
No. 20 Log magnitude / タウ・分割数の人工合成場 対数絶対値 A
PATTERN 058 / 180 対数絶対値
可視複雑度89.045
H 0.407 · E 0.0119 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 20 Complex phase / タウ・分割数の人工合成場 複素位相 B
PATTERN 059 / 180 複素位相
可視複雑度52.441
H 0.678 · E 0.0195 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 20 Normalized derivative field / タウ・分割数の人工合成場 正規化微分場 C
PATTERN 060 / 180 正規化微分場
可視複雑度96.820
H 0.462 · E 0.0168 · VALID 99.5% · RANKING対象

Ramanujan由来の部品を使うが、関数全体の数学的自然性や既知性は主張しない。

21
探索ノート固有実験

円分ロジャース–ラマヌジャン組紐

Cyclotomic Rogers–Ramanujan Braid

R(q)^5を7方向へ回転複製し、離散Fourier射影で一つの剰余周波数だけを残す。

公式
Bm,s(q)=1m∑j=0m−1ζm−sjR(ζmjq)5,ζm=e2πi/m\mathcal B_{m,s}(q)=\frac1m\sum_{j=0}^{m-1}\zeta_m^{-sj}R(\zeta_m^jq)^5,\quad\zeta_m=e^{2\pi i/m}
数値化条件
m=7,  s=3,  N=64,  0≤r≤0.94m=7,\;s=3,\;N=64,\;0\le r\le0.94
No. 21 Log magnitude / 円分ロジャース–ラマヌジャン組紐 対数絶対値 A
PATTERN 061 / 180 対数絶対値
可視複雑度55.842
H 0.356 · E 0.0093 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 21 Complex phase / 円分ロジャース–ラマヌジャン組紐 複素位相 B
PATTERN 062 / 180 複素位相
可視複雑度51.947
H 0.604 · E 0.0261 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 21 Normalized derivative field / 円分ロジャース–ラマヌジャン組紐 正規化微分場 C
PATTERN 063 / 180 正規化微分場
可視複雑度92.903
H 0.420 · E 0.0186 · VALID 99.5% · RANKING対象

Rogers–Ramanujan連分数を材料にするが、円分射影全体はアトラス用の人工合成。R^5はlog積から直接評価する。

22
探索ノート固有実験

モック・デルタ尺度ロンスキアン

Mock–Delta Scale Wronskian

mock thetaとDeltaの相対変化率を解析微分で交差させ、細い零線、節、渦対を抽出する。

公式
ua(q)=f(qa),  vb(q)=Δ(qb),Wa,b(q)=q(ua′vb−uavb′)u_a(q)=f(q^a),\;v_b(q)=\Delta(q^b),\quad\mathcal W_{a,b}(q)=q\left(u_a'v_b-u_av_b'\right)
数値化条件
a=1,  b=2,  Nf=32,  NΔ=64,  r≤0.90a=1,\;b=2,\;N_f=32,\;N_\Delta=64,\;r\le0.90
No. 22 Log magnitude / モック・デルタ尺度ロンスキアン 対数絶対値 A
PATTERN 064 / 180 対数絶対値
可視複雑度81.035
H 0.405 · E 0.0109 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 22 Complex phase / モック・デルタ尺度ロンスキアン 複素位相 B
PATTERN 065 / 180 複素位相
可視複雑度87.633
H 0.711 · E 0.0383 · VALID 97.2% · RANKING対象
No. 22 Normalized derivative field / モック・デルタ尺度ロンスキアン 正規化微分場 C
PATTERN 066 / 180 正規化微分場
可視複雑度50.433
H 0.288 · E 0.0129 · VALID 99.5% · RANKING対象

fとDeltaはラマヌジャン由来だが、尺度Wronskianは人工合成。画像差分ではなく項別微分を使う。

23
探索ノート固有実験

分割数・タウのDirichlet畳込み場

Partition–Tau Dirichlet Convolution Field

約数分解ごとに分割数とtauを異なる尺度で結合し、不均一な角周波数群を36次の有限多項式として作る。

公式
c(n)=∑d∣nμ(d)p(d)τ(n/d),H36(q)=2−44∑n=136c(n)qnc(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)p(d)\tau(n/d),\quad\mathcal H_{36}(q)=2^{-44}\sum_{n=1}^{36}c(n)q^n
数値化条件
n≤36,  S=44,  c(n) computed in BigIntn\le36,\;S=44,\;c(n)\text{ computed in BigInt}
No. 23 Log magnitude / 分割数・タウのDirichlet畳込み場 対数絶対値 A
PATTERN 067 / 180 対数絶対値
可視複雑度0.000
H 0.151 · E 0.0097 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 23 Complex phase / 分割数・タウのDirichlet畳込み場 複素位相 B
PATTERN 068 / 180 複素位相
可視複雑度9.460
H 0.470 · E 0.0183 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 23 Normalized derivative field / 分割数・タウのDirichlet畳込み場 正規化微分場 C
PATTERN 069 / 180 正規化微分場
可視複雑度12.005
H 0.137 · E 0.0106 · VALID 99.5% · RANKING対象

p、tau、Möbiusを使うが、このDirichlet畳込み母関数は人工。係数はBigInt生成後に共通二進尺度で正規化する。

24
探索ノート固有実験

タウ位相ねじれ・メビウス積

Tau-Twisted Möbius Product

tau(n)で因子の零点角度を回転し、Möbius符号で零点と極を交換する複素積。

公式
TM(q)=∏n=1∞(1−ζMτ(n)qn)μ(n)σ0(n),ζM=e2πi/M\mathcal T_M(q)=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\zeta_M^{\tau(n)}q^n\right)^{\mu(n)\sigma_0(n)},\quad\zeta_M=e^{2\pi i/M}
数値化条件
M=11,  N=96,  0≤r≤0.90M=11,\;N=96,\;0\le r\le0.90
No. 24 Log magnitude / タウ位相ねじれ・メビウス積 対数絶対値 A
PATTERN 070 / 180 対数絶対値
可視複雑度26.959
H 0.364 · E 0.0062 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 24 Complex phase / タウ位相ねじれ・メビウス積 複素位相 B
PATTERN 071 / 180 複素位相
可視複雑度14.563
H 0.553 · E 0.0087 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 24 Normalized derivative field / タウ位相ねじれ・メビウス積 正規化微分場 C
PATTERN 072 / 180 正規化微分場
可視複雑度58.866
H 0.434 · E 0.0117 · VALID 99.5% · RANKING対象

tauの剰余はBigIntで計算し、積は複素log和で評価する。合成全体に既知の恒等式は主張しない。

25
探索ノート固有実験

分割数・約数J連分数

Partition–Divisor J-Fraction

分割数の偶奇を符号、約数和を周波数として連分数の各階層へ埋め込む。

公式
an(q)=(−1)p(n)qσ1(n),JN(q)=a11+a21+a3⋱+aN1a_n(q)=(-1)^{p(n)}q^{\sigma_1(n)},\quad\mathcal J_N(q)=\cfrac{a_1}{1+\cfrac{a_2}{1+\cfrac{a_3}{\ddots+\cfrac{a_N}{1}}}}
数値化条件
N=20,  0≤r≤0.92,  backward finite evaluationN=20,\;0\le r\le0.92,\;\text{backward finite evaluation}
No. 25 Log magnitude / 分割数・約数J連分数 対数絶対値 A
PATTERN 073 / 180 対数絶対値
可視複雑度28.314
H 0.341 · E 0.0066 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 25 Complex phase / 分割数・約数J連分数 複素位相 B
PATTERN 074 / 180 複素位相
可視複雑度5.458
H 0.638 · E 0.0064 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 25 Normalized derivative field / 分割数・約数J連分数 正規化微分場 C
PATTERN 075 / 180 正規化微分場
可視複雑度3.730
H 0.385 · E 0.0082 · VALID 99.5% · RANKING対象

Ramanujanの連分数研究を想起させる文法だが、既知のRamanujan連分数ではない。

26
探索ノート固有実験

ラマヌジャン和・タウ擬テータ場

Ramanujan-Sum Tau Theta Field

Ramanujan和の周期骨格へ、tauの符号と正規化振幅による非周期的な干渉を重ねる。

公式
cm(n)=∑1≤a≤m(a,m)=1e2πian/m,Θm(τ)(q)=∑n=1∞cm(n)τ(n)n11/2qn2c_m(n)=\sum_{\substack{1\le a\le m\\(a,m)=1}}e^{2\pi ian/m},\quad\Theta_m^{(\tau)}(q)=\sum_{n=1}^{\infty}c_m(n)\frac{\tau(n)}{n^{11/2}}q^{n^2}
数値化条件
m=30,  n≤36,  0≤r≤0.96m=30,\;n\le36,\;0\le r\le0.96
No. 26 Log magnitude / ラマヌジャン和・タウ擬テータ場 対数絶対値 A
PATTERN 076 / 180 対数絶対値
可視複雑度69.773
H 0.384 · E 0.0101 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 26 Complex phase / ラマヌジャン和・タウ擬テータ場 複素位相 B
PATTERN 077 / 180 複素位相
可視複雑度25.320
H 0.710 · E 0.0089 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 26 Normalized derivative field / ラマヌジャン和・タウ擬テータ場 正規化微分場 C
PATTERN 078 / 180 正規化微分場
可視複雑度61.673
H 0.392 · E 0.0126 · VALID 99.5% · RANKING対象

thetaは二次指数形の説明であり、modular thetaであるとは主張しない。合成全体は人工。

27
探索ノート固有実験

モジュラー尺度クロス比

Modular Scale Cross-Ratio

四つのnome尺度におけるj値の相対配置だけを残し、零点と極の鎖をクロス比へ圧縮する。

公式
Jk(q)=E4(qk)3Δ(qk),Xa,b,c,d(q)=(Ja−Jc)(Jb−Jd)(Ja−Jd)(Jb−Jc)J_k(q)=\frac{E_4(q^k)^3}{\Delta(q^k)},\quad\mathcal X_{a,b,c,d}(q)=\frac{(J_a-J_c)(J_b-J_d)}{(J_a-J_d)(J_b-J_c)}
数値化条件
(a,b,c,d)=(1,2,3,5),  N=96,  0.35≤r≤0.70(a,b,c,d)=(1,2,3,5),\;N=96,\;0.35\le r\le0.70
No. 27 Log magnitude / モジュラー尺度クロス比 対数絶対値 A
PATTERN 079 / 180 対数絶対値
可視複雑度N/R
H 0.305 · E 0.0096 · VALID 70.7% · COVERAGE対象外
No. 27 Complex phase / モジュラー尺度クロス比 複素位相 B
PATTERN 080 / 180 複素位相
可視複雑度N/R
H 0.487 · E 0.0171 · VALID 70.7% · COVERAGE対象外
No. 27 Normalized derivative field / モジュラー尺度クロス比 正規化微分場 C
PATTERN 081 / 180 正規化微分場
可視複雑度N/R
H 0.434 · E 0.0235 · VALID 69.9% · COVERAGE対象外

j、Eisenstein、Deltaはモジュラー文脈。尺度クロス比は人工で、modular invarianceは主張しない。

28
探索ノート固有実験

算術二重q級数

Arithmetic Double q-Series

斜交する正定値二次格子へ、Möbius欠落、分割数偶奇、二種のq-Pochhammerを同居させる。

公式
DA,B,C(q)=∑m,n≥0μ(m+1)(−1)p(n)qAm2+Bmn+Cn2(−q;q)m(q;q)n,4AC>B2\mathcal D_{A,B,C}(q)=\sum_{m,n\ge0}\frac{\mu(m+1)(-1)^{p(n)}q^{Am^2+Bmn+Cn^2}}{(-q;q)_m(q;q)_n},\quad4AC>B^2
数値化条件
A=C=2,  B=3,  0≤m,n≤10,  r≤0.88A=C=2,\;B=3,\;0\le m,n\le10,\;r\le0.88
No. 28 Log magnitude / 算術二重q級数 対数絶対値 A
PATTERN 082 / 180 対数絶対値
可視複雑度35.118
H 0.335 · E 0.0073 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 28 Complex phase / 算術二重q級数 複素位相 B
PATTERN 083 / 180 複素位相
可視複雑度4.911
H 0.507 · E 0.0068 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 28 Normalized derivative field / 算術二重q級数 正規化微分場 C
PATTERN 084 / 180 正規化微分場
可視複雑度18.193
H 0.439 · E 0.0085 · VALID 99.5% · RANKING対象

Bailey pairなどの既知構造とは称さない人工二重和。q-Pochhammerは各標本で階層キャッシュする。

29
探索ノート固有実験

メビウス・分割Lambertカスケード

Möbius–Partition Lambert Cascade

n周期とp(n)周期の二重極列をMöbius符号で選別し、境界へ算術格子を形成する。

公式
K(q)=∑n=1∞μ(n)p(n)qn2(1−qn)(1−qp(n))\mathcal K(q)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(n)p(n)\frac{q^{n^2}}{(1-q^n)(1-q^{p(n)})}
数値化条件
n≤28,  p(n) exact,  0≤r≤0.91n\le28,\;p(n)\text{ exact},\;0\le r\le0.91
No. 29 Log magnitude / メビウス・分割Lambertカスケード 対数絶対値 A
PATTERN 085 / 180 対数絶対値
可視複雑度46.059
H 0.386 · E 0.0074 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 29 Complex phase / メビウス・分割Lambertカスケード 複素位相 B
PATTERN 086 / 180 複素位相
可視複雑度19.044
H 0.631 · E 0.0085 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 29 Normalized derivative field / メビウス・分割Lambertカスケード 正規化微分場 C
PATTERN 087 / 180 正規化微分場
可視複雑度58.327
H 0.427 · E 0.0117 · VALID 99.5% · RANKING対象

標準Möbius Lambert級数のようにqへ縮退しない人工カスケード。両分母を個別に監視する。

30
探索ノート固有実験

タウ自己相関場

Tau Autocorrelation Field

離れたtau係数同士の符号・振幅関係を、lag依存の二次周波数と長周期ビートへ変換する。

公式
Ah(q)=∑n=1∞τ(n)τ(n+h)[n(n+h)]11/2qn(n+h)\mathcal A_h(q)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\tau(n)\tau(n+h)}{[n(n+h)]^{11/2}}q^{n(n+h)}
数値化条件
h=5,  n≤30,  0≤r≤0.96h=5,\;n\le30,\;0\le r\le0.96
No. 30 Log magnitude / タウ自己相関場 対数絶対値 A
PATTERN 088 / 180 対数絶対値
可視複雑度65.423
H 0.357 · E 0.0107 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 30 Complex phase / タウ自己相関場 複素位相 B
PATTERN 089 / 180 複素位相
可視複雑度32.294
H 0.629 · E 0.0128 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 30 Normalized derivative field / タウ自己相関場 正規化微分場 C
PATTERN 090 / 180 正規化微分場
可視複雑度64.052
H 0.374 · E 0.0133 · VALID 99.5% · RANKING対象

tau自己相関に関する定理やmodularityは主張しない人工場。係数は11/2乗で正規化する。

31
探索ノート固有実験

ロジャース–ラマヌジャン・デルタ終結式

Rogers–Ramanujan–Delta Resultant

五次剰余の位相骨格とDeltaの零点集合を、二つのnome尺度の反対称差として衝突させる。

公式
RΔ(q)=R(q)5Δ(q2)−R(q2)5Δ(q)\mathcal R_\Delta(q)=R(q)^5\Delta(q^2)-R(q^2)^5\Delta(q)
数値化条件
NR=32,  NΔ=40,  r≤0.84N_R=32,\;N_\Delta=40,\;r\le0.84
No. 31 Log magnitude / ロジャース–ラマヌジャン・デルタ終結式 対数絶対値 A
PATTERN 091 / 180 対数絶対値
可視複雑度62.498
H 0.401 · E 0.0087 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 31 Complex phase / ロジャース–ラマヌジャン・デルタ終結式 複素位相 B
PATTERN 092 / 180 複素位相
可視複雑度72.253
H 0.694 · E 0.0296 · VALID 98.4% · RANKING対象
No. 31 Normalized derivative field / ロジャース–ラマヌジャン・デルタ終結式 正規化微分場 C
PATTERN 093 / 180 正規化微分場
可視複雑度55.203
H 0.299 · E 0.0135 · VALID 99.5% · RANKING対象

RとDeltaを材料にした人工終結式。既知恒等式ではない。

32
探索ノート固有実験

モックテータ円分射影

Mock-Theta Cyclotomic Projection

mock thetaの非定数部を五方向へ回転し、一つの剰余周波数へ射影する。

公式
Mm,s(q)=m−1∑j=0m−1ζm−sj(f(ζmjq)−1)\mathcal M_{m,s}(q)=m^{-1}\sum_{j=0}^{m-1}\zeta_m^{-sj}(f(\zeta_m^jq)-1)
数値化条件
m=5,  s=2,  N=18,  r≤0.82m=5,\;s=2,\;N=18,\;r\le0.82
No. 32 Log magnitude / モックテータ円分射影 対数絶対値 A
PATTERN 094 / 180 対数絶対値
可視複雑度49.987
H 0.391 · E 0.0077 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 32 Complex phase / モックテータ円分射影 複素位相 B
PATTERN 095 / 180 複素位相
可視複雑度19.253
H 0.691 · E 0.0079 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 32 Normalized derivative field / モックテータ円分射影 正規化微分場 C
PATTERN 096 / 180 正規化微分場
可視複雑度72.088
H 0.480 · E 0.0129 · VALID 99.5% · RANKING対象

円分射影は人工合成。

33
探索ノート固有実験

タウ・分割数Hadamard場

Tau–Partition Hadamard Field

tau振幅と分割数剰余を同じ係数番号で点wiseに結合する有限場。

公式
HM(q)=∑n=1Nτ(n)n11/2((p(n) mod M)−(M−1)/2)qn\mathcal H_M(q)=\sum_{n=1}^{N}\frac{\tau(n)}{n^{11/2}}((p(n)\bmod M)-(M-1)/2)q^n
数値化条件
M=17,  N=48,  r≤0.92M=17,\;N=48,\;r\le0.92
No. 33 Log magnitude / タウ・分割数Hadamard場 対数絶対値 A
PATTERN 097 / 180 対数絶対値
可視複雑度56.884
H 0.425 · E 0.0077 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 33 Complex phase / タウ・分割数Hadamard場 複素位相 B
PATTERN 098 / 180 複素位相
可視複雑度15.284
H 0.719 · E 0.0072 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 33 Normalized derivative field / タウ・分割数Hadamard場 正規化微分場 C
PATTERN 099 / 180 正規化微分場
可視複雑度12.147
H 0.392 · E 0.0084 · VALID 99.5% · RANKING対象

有限48次多項式として評価する。

34
探索ノート固有実験

エータ尺度判別商

Eta-Scale Discriminant Quotient

1・2・3・6倍尺度のEuler積を非対称次数で干渉させる。

公式
E(q)=ϕ(q)2ϕ(q6)3/[ϕ(q2)2ϕ(q3)3]\mathcal E(q)=\phi(q)^2\phi(q^6)^3/[\phi(q^2)^2\phi(q^3)^3]
数値化条件
N=48,  r≤0.90N=48,\;r\le0.90
No. 34 Log magnitude / エータ尺度判別商 対数絶対値 A
PATTERN 100 / 180 対数絶対値
可視複雑度5.784
H 0.363 · E 0.0054 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 34 Complex phase / エータ尺度判別商 複素位相 B
PATTERN 101 / 180 複素位相
可視複雑度1.843
H 0.610 · E 0.0063 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 34 Normalized derivative field / エータ尺度判別商 正規化微分場 C
PATTERN 102 / 180 正規化微分場
可視複雑度53.346
H 0.428 · E 0.0111 · VALID 99.5% · RANKING対象

modularityは主張しない有限積商。

35
探索ノート固有実験

アイゼンシュタイン尺度交換子

Eisenstein Scale Commutator

weight 4と6の尺度交換で残る非可換成分を抽出する。

公式
CE(q)=E4(q)E6(q2)−E4(q2)E6(q)\mathcal C_E(q)=E_4(q)E_6(q^2)-E_4(q^2)E_6(q)
数値化条件
N=28,  r≤0.78N=28,\;r\le0.78
No. 35 Log magnitude / アイゼンシュタイン尺度交換子 対数絶対値 A
PATTERN 103 / 180 対数絶対値
可視複雑度74.172
H 0.440 · E 0.0091 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 35 Complex phase / アイゼンシュタイン尺度交換子 複素位相 B
PATTERN 104 / 180 複素位相
可視複雑度78.785
H 0.750 · E 0.0286 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 35 Normalized derivative field / アイゼンシュタイン尺度交換子 正規化微分場 C
PATTERN 105 / 180 正規化微分場
可視複雑度0.000
H 0.057 · E 0.0031 · VALID 99.5% · RANKING対象

人工的な尺度交換子。

36
探索ノート固有実験

モジュラーj軌道重心

Modular j-Orbit Barycenter

複数尺度のj値を移動極の逆数として重ね、分割数偶奇で符号化する。

公式
BJ(q)=∑k=1K(−1)p(k)/[k(Jk(q)−kλ)]\mathcal B_J(q)=\sum_{k=1}^{K}(-1)^{p(k)}/[k(J_k(q)-k\lambda)]
数値化条件
K=4,  λ=1728,  N=48,  0.30≤r≤0.62K=4,\;\lambda=1728,\;N=48,\;0.30\le r\le0.62
No. 36 Log magnitude / モジュラーj軌道重心 対数絶対値 A
PATTERN 106 / 180 対数絶対値
可視複雑度N/R
H 0.266 · E 0.0082 · VALID 74.0% · COVERAGE対象外
No. 36 Complex phase / モジュラーj軌道重心 複素位相 B
PATTERN 107 / 180 複素位相
可視複雑度N/R
H 0.481 · E 0.0127 · VALID 74.0% · COVERAGE対象外
No. 36 Normalized derivative field / モジュラーj軌道重心 正規化微分場 C
PATTERN 108 / 180 正規化微分場
可視複雑度N/R
H 0.117 · E 0.0093 · VALID 73.2% · COVERAGE対象外

j軌道の人工重心。内円盤はdomain mask。

37
探索ノート固有実験

モック・ロジャース尺度結合

Mock–Rogers Scale Coupling

mock thetaとRogers–Ramanujanの尺度交換差を取る。

公式
Q(q)=f(q)R(q2)5−f(q2)R(q)5\mathcal Q(q)=f(q)R(q^2)^5-f(q^2)R(q)^5
数値化条件
Nf=18,  NR=32,  r≤0.82N_f=18,\;N_R=32,\;r\le0.82
No. 37 Log magnitude / モック・ロジャース尺度結合 対数絶対値 A
PATTERN 109 / 180 対数絶対値
可視複雑度29.649
H 0.385 · E 0.0062 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 37 Complex phase / モック・ロジャース尺度結合 複素位相 B
PATTERN 110 / 180 複素位相
可視複雑度25.783
H 0.658 · E 0.0098 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 37 Normalized derivative field / モック・ロジャース尺度結合 正規化微分場 C
PATTERN 111 / 180 正規化微分場
可視複雑度40.418
H 0.468 · E 0.0097 · VALID 99.5% · RANKING対象

二成分の人工結合。

38
探索ノート固有実験

分割数・メビウスJ連分数

Partition–Möbius J-Fraction

square-free欠落、分割数偶奇、約数周波数を有限連分数へ埋め込む。

公式
bn=μ(n)(−1)p(n)qn+σ1(n),J=1+b11+b21+⋱b_n=\mu(n)(-1)^{p(n)}q^{n+\sigma_1(n)},\quad\mathcal J=1+\cfrac{b_1}{1+\cfrac{b_2}{1+\ddots}}
数値化条件
depth=24,  r≤0.88depth=24,\;r\le0.88
No. 38 Log magnitude / 分割数・メビウスJ連分数 対数絶対値 A
PATTERN 112 / 180 対数絶対値
可視複雑度60.699
H 0.423 · E 0.0081 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 38 Complex phase / 分割数・メビウスJ連分数 複素位相 B
PATTERN 113 / 180 複素位相
可視複雑度20.511
H 0.728 · E 0.0079 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 38 Normalized derivative field / 分割数・メビウスJ連分数 正規化微分場 C
PATTERN 114 / 180 正規化微分場
可視複雑度0.000
H 0.408 · E 0.0079 · VALID 99.5% · RANKING対象

既知のRamanujan連分数ではない。

39
探索ノート固有実験

タウ剰余・分割数積

Tau-Residue Partition Product

tau剰余で零点角を回し、分割数偶奇で零点と極を交換する。

公式
Pτ,p(q)=∏n=1N(1−ζMτ(n)qn2)(−1)p(n)\mathcal P_{\tau,p}(q)=\prod_{n=1}^{N}(1-\zeta_M^{\tau(n)}q^{n^2})^{(-1)^{p(n)}}
数値化条件
M=13,  N=30,  r≤0.93M=13,\;N=30,\;r\le0.93
No. 39 Log magnitude / タウ剰余・分割数積 対数絶対値 A
PATTERN 115 / 180 対数絶対値
可視複雑度14.654
H 0.372 · E 0.0056 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 39 Complex phase / タウ剰余・分割数積 複素位相 B
PATTERN 116 / 180 複素位相
可視複雑度0.000
H 0.510 · E 0.0050 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 39 Normalized derivative field / タウ剰余・分割数積 正規化微分場 C
PATTERN 117 / 180 正規化微分場
可視複雑度59.301
H 0.421 · E 0.0119 · VALID 99.5% · RANKING対象

複素log和で評価する有限積。

40
探索ノート固有実験

ラマヌジャン和・モック織場

Ramanujan-Sum Mock Weave

mock thetaの各層へRamanujan和の周期ゲートを挿入する。

公式
Wm,l(q)=∑n=1Ncm(n)ζln2qn2/(−q;q)n2\mathcal W_{m,l}(q)=\sum_{n=1}^{N}c_m(n)\zeta_l^{n^2}q^{n^2}/(-q;q)_n^2
数値化条件
m=12,  l=13,  N=18,  r≤0.88m=12,\;l=13,\;N=18,\;r\le0.88
No. 40 Log magnitude / ラマヌジャン和・モック織場 対数絶対値 A
PATTERN 118 / 180 対数絶対値
可視複雑度27.095
H 0.354 · E 0.0063 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 40 Complex phase / ラマヌジャン和・モック織場 複素位相 B
PATTERN 119 / 180 複素位相
可視複雑度19.276
H 0.617 · E 0.0088 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 40 Normalized derivative field / ラマヌジャン和・モック織場 正規化微分場 C
PATTERN 120 / 180 正規化微分場
可視複雑度40.028
H 0.471 · E 0.0097 · VALID 99.5% · RANKING対象

mock thetaを材料にした人工weave。

41
探索ノート固有実験

素数・タウ疎級数場

Prime–Tau Lacunary Field

素数位置だけにtauの符号と正規化振幅を残す二次周波数場。

公式
LP,τ(q)=∑p≤P, p primeτ(p)p−11/2qp2\mathcal L_{\mathbb P,\tau}(q)=\sum_{p\le P,\,p\ prime}\tau(p)p^{-11/2}q^{p^2}
数値化条件
P=61,  r≤0.97P=61,\;r\le0.97
No. 41 Log magnitude / 素数・タウ疎級数場 対数絶対値 A
PATTERN 121 / 180 対数絶対値
可視複雑度72.938
H 0.398 · E 0.0100 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 41 Complex phase / 素数・タウ疎級数場 複素位相 B
PATTERN 122 / 180 複素位相
可視複雑度30.112
H 0.666 · E 0.0109 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 41 Normalized derivative field / 素数・タウ疎級数場 正規化微分場 C
PATTERN 123 / 180 正規化微分場
可視複雑度73.537
H 0.444 · E 0.0135 · VALID 99.5% · RANKING対象

有限素数和。

42
探索ノート固有実験

平方因子なし分割擬テータ

Square-Free Partition Theta

square-freeゲートに分割数由来の符号と指数ずれを与える。

公式
S(q)=∑n=1N∣μ(n)∣(−1)p(n)qn2+(p(n) mod 17)\mathcal S(q)=\sum_{n=1}^{N}|\mu(n)|(-1)^{p(n)}q^{n^2+(p(n)\bmod17)}
数値化条件
N=48,  r≤0.97N=48,\;r\le0.97
No. 42 Log magnitude / 平方因子なし分割擬テータ 対数絶対値 A
PATTERN 124 / 180 対数絶対値
可視複雑度77.710
H 0.416 · E 0.0101 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 42 Complex phase / 平方因子なし分割擬テータ 複素位相 B
PATTERN 125 / 180 複素位相
可視複雑度27.046
H 0.708 · E 0.0093 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 42 Normalized derivative field / 平方因子なし分割擬テータ 正規化微分場 C
PATTERN 126 / 180 正規化微分場
可視複雑度67.420
H 0.425 · E 0.0129 · VALID 99.5% · RANKING対象

modular thetaではない。

43
探索ノート固有実験

約数・タウGauss場

Divisor–Tau Gauss Field

約数密度、tau、有限Gauss位相を三重に結合する。

公式
GM(q)=∑n=1Nσ2(n)τ(n)n−15/2e2πin2/Mqn2\mathcal G_M(q)=\sum_{n=1}^{N}\sigma_2(n)\tau(n)n^{-15/2}e^{2\pi in^2/M}q^{n^2}
数値化条件
M=11,  N=40,  r≤0.97M=11,\;N=40,\;r\le0.97
No. 43 Log magnitude / 約数・タウGauss場 対数絶対値 A
PATTERN 127 / 180 対数絶対値
可視複雑度67.468
H 0.402 · E 0.0092 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 43 Complex phase / 約数・タウGauss場 複素位相 B
PATTERN 128 / 180 複素位相
可視複雑度21.293
H 0.727 · E 0.0080 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 43 Normalized derivative field / 約数・タウGauss場 正規化微分場 C
PATTERN 129 / 180 正規化微分場
可視複雑度54.211
H 0.353 · E 0.0122 · VALID 99.5% · RANKING対象

有限lacunary級数。

44
探索ノート固有実験

分割数Lambert干渉場

Partition Lambert Interference

根の位相格子ごとにpartition parityと剰余振幅を変える。

公式
Lp(q)=∑n=1N(−1)p(n)(1+p(n) mod M)n−1qn/(1−qn)\mathcal L_p(q)=\sum_{n=1}^{N}(-1)^{p(n)}(1+p(n)\bmod M)n^{-1}q^n/(1-q^n)
数値化条件
M=13,  N=36,  r≤0.88M=13,\;N=36,\;r\le0.88
No. 44 Log magnitude / 分割数Lambert干渉場 対数絶対値 A
PATTERN 130 / 180 対数絶対値
可視複雑度35.755
H 0.400 · E 0.0065 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 44 Complex phase / 分割数Lambert干渉場 複素位相 B
PATTERN 131 / 180 複素位相
可視複雑度10.457
H 0.651 · E 0.0069 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 44 Normalized derivative field / 分割数Lambert干渉場 正規化微分場 C
PATTERN 132 / 180 正規化微分場
可視複雑度16.797
H 0.394 · E 0.0085 · VALID 99.5% · RANKING対象

有限Lambert場。

45
探索ノート固有実験

タウ符号円分積

Tau-Sign Cyclotomic Product

square-free因子だけを残し、tau符号で円分回転方向を反転する。

公式
Z(q)=∏∣μ(n)∣=1(1−ζMn sgnτ(n)qn)\mathcal Z(q)=\prod_{|\mu(n)|=1}(1-\zeta_M^{n\,\mathrm{sgn}\tau(n)}q^n)
数値化条件
M=17,  N=48,  r≤0.90M=17,\;N=48,\;r\le0.90
No. 45 Log magnitude / タウ符号円分積 対数絶対値 A
PATTERN 133 / 180 対数絶対値
可視複雑度30.573
H 0.374 · E 0.0064 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 45 Complex phase / タウ符号円分積 複素位相 B
PATTERN 134 / 180 複素位相
可視複雑度1.727
H 0.577 · E 0.0063 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 45 Normalized derivative field / タウ符号円分積 正規化微分場 C
PATTERN 135 / 180 正規化微分場
可視複雑度51.209
H 0.442 · E 0.0108 · VALID 99.5% · RANKING対象

有限人工積。

46
探索ノート固有実験

モックテータ尺度畳込み

Mock-Theta Scale Convolution

符号反転と二倍尺度を行列式状に組み、偶奇成分を分離する。

公式
Vf(q)=f(q)f(−q2)−f(−q)f(q2)\mathcal V_f(q)=f(q)f(-q^2)-f(-q)f(q^2)
数値化条件
N=18,  r≤0.82N=18,\;r\le0.82
No. 46 Log magnitude / モックテータ尺度畳込み 対数絶対値 A
PATTERN 136 / 180 対数絶対値
可視複雑度44.138
H 0.386 · E 0.0072 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 46 Complex phase / モックテータ尺度畳込み 複素位相 B
PATTERN 137 / 180 複素位相
可視複雑度19.832
H 0.684 · E 0.0081 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 46 Normalized derivative field / モックテータ尺度畳込み 正規化微分場 C
PATTERN 138 / 180 正規化微分場
可視複雑度50.580
H 0.435 · E 0.0108 · VALID 99.5% · RANKING対象

mock thetaの人工尺度畳込み。

47
探索ノート固有実験

デルタ尺度行列式

Delta Scale Determinant

1・2・3・6倍のDeltaを尺度行列式へ配置する。

公式
DΔ(q)=Δ(q)Δ(q6)−Δ(q2)Δ(q3)\mathcal D_\Delta(q)=\Delta(q)\Delta(q^6)-\Delta(q^2)\Delta(q^3)
数値化条件
N=48,  r≤0.86N=48,\;r\le0.86
No. 47 Log magnitude / デルタ尺度行列式 対数絶対値 A
PATTERN 139 / 180 対数絶対値
可視複雑度68.516
H 0.374 · E 0.0104 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 47 Complex phase / デルタ尺度行列式 複素位相 B
PATTERN 140 / 180 複素位相
可視複雑度85.079
H 0.675 · E 0.0416 · VALID 97.2% · RANKING対象
No. 47 Normalized derivative field / デルタ尺度行列式 正規化微分場 C
PATTERN 141 / 180 正規化微分場
可視複雑度65.695
H 0.293 · E 0.0160 · VALID 99.5% · RANKING対象

人工尺度行列式。

48
探索ノート固有実験

アイゼンシュタイン位相同期

Eisenstein Phase Lock

weight 4と6の相対位相が三倍尺度で同期する場所を抽出する。

公式
PE(q)=[L1,3(q)+0.35L2,5(q)+0.18q7/(1−q11)]∏∣μ(n)∣=120(1−ζ13n sgnτ(n)qn)\mathcal P_E(q)=[L_{1,3}(q)+0.35L_{2,5}(q)+0.18q^7/(1-q^{11})]\prod_{|\mu(n)|=1}^{20}(1-\zeta_{13}^{n\,\mathrm{sgn}\tau(n)}q^n)
数値化条件
N=32,  r≤0.62N=32,\;r\le0.62
No. 48 Log magnitude / アイゼンシュタイン位相同期 対数絶対値 A
PATTERN 142 / 180 対数絶対値
可視複雑度65.832
H 0.407 · E 0.0089 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 48 Complex phase / アイゼンシュタイン位相同期 複素位相 B
PATTERN 143 / 180 複素位相
可視複雑度11.800
H 0.537 · E 0.0082 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 48 Normalized derivative field / アイゼンシュタイン位相同期 正規化微分場 C
PATTERN 144 / 180 正規化微分場
可視複雑度88.258
H 0.392 · E 0.0172 · VALID 99.5% · RANKING対象

極近傍はill-conditioned mask。

49
探索ノート固有実験

分割数自己相関場

Partition Autocorrelation Field

離れた分割数の偶奇相関と緩やかな振幅成長を二次周波数へ写す。

公式
Ap(q)=∑n=1N(−1)p(n)+p(n+h)log⁡2(1+p(n))log⁡2(1+p(n+h))n−2qn(n+h)\mathcal A_p(q)=\sum_{n=1}^{N}(-1)^{p(n)+p(n+h)}\log_2(1+p(n))\log_2(1+p(n+h))n^{-2}q^{n(n+h)}
数値化条件
h=7,  N=40,  r≤0.97h=7,\;N=40,\;r\le0.97
No. 49 Log magnitude / 分割数自己相関場 対数絶対値 A
PATTERN 145 / 180 対数絶対値
可視複雑度84.817
H 0.393 · E 0.0119 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 49 Complex phase / 分割数自己相関場 複素位相 B
PATTERN 146 / 180 複素位相
可視複雑度42.485
H 0.675 · E 0.0150 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 49 Normalized derivative field / 分割数自己相関場 正規化微分場 C
PATTERN 147 / 180 正規化微分場
可視複雑度83.283
H 0.462 · E 0.0146 · VALID 99.5% · RANKING対象

分割数相関に関する定理は主張しない。

50
探索ノート固有実験

タウ・メビウスLambert場

Tau–Möbius Lambert Field

tau係数をsquare-free選別し、異なる根格子を交差させる。

公式
Lτ,μ(q)=∑n=1Nμ(n)τ(n)n−11/2qn/(1−qn+1)\mathcal L_{\tau,\mu}(q)=\sum_{n=1}^{N}\mu(n)\tau(n)n^{-11/2}q^n/(1-q^{n+1})
数値化条件
N=48,  r≤0.88N=48,\;r\le0.88
No. 50 Log magnitude / タウ・メビウスLambert場 対数絶対値 A
PATTERN 148 / 180 対数絶対値
可視複雑度54.639
H 0.407 · E 0.0078 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 50 Complex phase / タウ・メビウスLambert場 複素位相 B
PATTERN 149 / 180 複素位相
可視複雑度13.649
H 0.700 · E 0.0071 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 50 Normalized derivative field / タウ・メビウスLambert場 正規化微分場 C
PATTERN 150 / 180 正規化微分場
可視複雑度46.148
H 0.400 · E 0.0106 · VALID 99.5% · RANKING対象

有限人工Lambert級数。

51
探索ノート固有実験

ロジャース・Euler円分商

Rogers–Euler Cyclotomic Quotient

Rogers–Ramanujan構造を2・5・10尺度のEuler商で再変調する。

公式
QR,ϕ(q)=R(q)5ϕ(q2)ϕ(q5)/[ϕ(q)ϕ(q10)]\mathcal Q_{R,\phi}(q)=R(q)^5\phi(q^2)\phi(q^5)/[\phi(q)\phi(q^{10})]
数値化条件
NR=40,  Nϕ=48,  r≤0.86N_R=40,\;N_\phi=48,\;r\le0.86
No. 51 Log magnitude / ロジャース・Euler円分商 対数絶対値 A
PATTERN 151 / 180 対数絶対値
可視複雑度0.000
H 0.325 · E 0.0050 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 51 Complex phase / ロジャース・Euler円分商 複素位相 B
PATTERN 152 / 180 複素位相
可視複雑度15.191
H 0.577 · E 0.0083 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 51 Normalized derivative field / ロジャース・Euler円分商 正規化微分場 C
PATTERN 153 / 180 正規化微分場
可視複雑度43.368
H 0.453 · E 0.0100 · VALID 99.5% · RANKING対象

人工円分商。

52
探索ノート固有実験

算術三重q級数

Arithmetic Triple q-Series

三次元斜交格子へMöbius、partition parity、Ramanujan和を割り当てる。

公式
T(q)=∑a,b,c=0Lμ(a+1)(−1)p(b)c12(c+1)qa2+2b2+3c2+ab+bc+1\mathcal T(q)=\sum_{a,b,c=0}^{L}\mu(a+1)(-1)^{p(b)}c_{12}(c+1)q^{a^2+2b^2+3c^2+ab+bc+1}
数値化条件
0≤a,b,c≤3,  r≤0.920\le a,b,c\le3,\;r\le0.92
No. 52 Log magnitude / 算術三重q級数 対数絶対値 A
PATTERN 154 / 180 対数絶対値
可視複雑度73.730
H 0.413 · E 0.0097 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 52 Complex phase / 算術三重q級数 複素位相 B
PATTERN 155 / 180 複素位相
可視複雑度31.960
H 0.681 · E 0.0111 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 52 Normalized derivative field / 算術三重q級数 正規化微分場 C
PATTERN 156 / 180 正規化微分場
可視複雑度50.531
H 0.479 · E 0.0105 · VALID 99.5% · RANKING対象

有限4×4×4和。

53
探索ノート固有実験

タウ・分割数連続積

Tau–Partition Continued Product

tau剰余、分割数偶奇、自己指標指数を有限連分数へ圧縮する。

公式
dn=M−1τ~M(n)(−1)p(n)ζlnτ~M(n)qn+(p(n) mod 13),C=[1/(1+d1/(1+d2/(1+⋯ )))+0.8q7/(1−q19)]∏∣μ(n)∣=118(1−ζ23n sgnτ(n)qn)d_n=M^{-1}\widetilde\tau_M(n)(-1)^{p(n)}\zeta_l^{n\widetilde\tau_M(n)}q^{n+(p(n)\bmod13)},\quad\mathcal C=[1/(1+d_1/(1+d_2/(1+\cdots)))+0.8q^7/(1-q^{19})]\prod_{|\mu(n)|=1}^{18}(1-\zeta_{23}^{n\,\mathrm{sgn}\tau(n)}q^n)
数値化条件
M=17,  l=19,  depth=28,  r≤0.95M=17,\;l=19,\;depth=28,\;r\le0.95
No. 53 Log magnitude / タウ・分割数連続積 対数絶対値 A
PATTERN 157 / 180 対数絶対値
可視複雑度30.483
H 0.351 · E 0.0066 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 53 Complex phase / タウ・分割数連続積 複素位相 B
PATTERN 158 / 180 複素位相
可視複雑度9.212
H 0.571 · E 0.0071 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 53 Normalized derivative field / タウ・分割数連続積 正規化微分場 C
PATTERN 159 / 180 正規化微分場
可視複雑度52.956
H 0.431 · E 0.0110 · VALID 99.5% · RANKING対象

既知連分数ではない。

54
探索ノート固有実験

ラマヌジャン和相互相関

Ramanujan-Sum Cross-Correlation

異なる法のRamanujan和をlag付きで相関し、tauで崩す。

公式
Cm,l,h(q)=∑n=1Ncm(n)cl(n+h)τ(n)n−13/2qn(n+h)\mathcal C_{m,l,h}(q)=\sum_{n=1}^{N}c_m(n)c_l(n+h)\tau(n)n^{-13/2}q^{n(n+h)}
数値化条件
m=12,  l=18,  h=5,  N=40,  r≤0.97m=12,\;l=18,\;h=5,\;N=40,\;r\le0.97
No. 54 Log magnitude / ラマヌジャン和相互相関 対数絶対値 A
PATTERN 160 / 180 対数絶対値
可視複雑度0.000
H 0.163 · E 0.0136 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 54 Complex phase / ラマヌジャン和相互相関 複素位相 B
PATTERN 161 / 180 複素位相
可視複雑度29.759
H 0.496 · E 0.0335 · VALID 91.5% · RANKING対象
No. 54 Normalized derivative field / ラマヌジャン和相互相関 正規化微分場 C
PATTERN 162 / 180 正規化微分場
可視複雑度40.985
H 0.205 · E 0.0143 · VALID 99.5% · RANKING対象

有限人工相関場。

55
探索ノート固有実験

メビウス・約数算術行列式

Möbius–Sigma Arithmetic Determinant

四つの算術係数列を二行二列の有限行列式として干渉させる。

公式
DA(q)=det⁡[[∑μ(n)qn,∑σ1(n)n−2qn],[∑(−1)p(n)qn,∑τ(n)n−11/2qn]]\mathcal D_A(q)=\det[[\sum\mu(n)q^n,\sum\sigma_1(n)n^{-2}q^n],[\sum(-1)^{p(n)}q^n,\sum\tau(n)n^{-11/2}q^n]]
数値化条件
N=48,  r≤0.92N=48,\;r\le0.92
No. 55 Log magnitude / メビウス・約数算術行列式 対数絶対値 A
PATTERN 163 / 180 対数絶対値
可視複雑度76.799
H 0.422 · E 0.0098 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 55 Complex phase / メビウス・約数算術行列式 複素位相 B
PATTERN 164 / 180 複素位相
可視複雑度30.823
H 0.714 · E 0.0102 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 55 Normalized derivative field / メビウス・約数算術行列式 正規化微分場 C
PATTERN 165 / 180 正規化微分場
可視複雑度58.274
H 0.419 · E 0.0118 · VALID 99.5% · RANKING対象

人工算術行列式。

56
探索ノート固有実験

モック・デルタ尺度行列式

Mock–Delta Scale Determinant

mock thetaとDeltaの三倍尺度交換差を取る。

公式
Df,Δ(q)=f(q)Δ(q3)−f(q3)Δ(q)\mathcal D_{f,\Delta}(q)=f(q)\Delta(q^3)-f(q^3)\Delta(q)
数値化条件
Nf=18,  NΔ=48,  r≤0.86N_f=18,\;N_\Delta=48,\;r\le0.86
No. 56 Log magnitude / モック・デルタ尺度行列式 対数絶対値 A
PATTERN 166 / 180 対数絶対値
可視複雑度83.563
H 0.437 · E 0.0101 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 56 Complex phase / モック・デルタ尺度行列式 複素位相 B
PATTERN 167 / 180 複素位相
可視複雑度77.475
H 0.738 · E 0.0288 · VALID 99.5% · RANKING対象
No. 56 Normalized derivative field / モック・デルタ尺度行列式 正規化微分場 C
PATTERN 168 / 180 正規化微分場
可視複雑度44.233
H 0.281 · E 0.0120 · VALID 99.5% · RANKING対象

人工尺度行列式。

57
探索ノート固有実験

タウ・分割数円分組紐

Tau–Partition Cyclotomic Braid

tau-partition多項式を回転複製し、一つの剰余類へ射影する。

公式
Bτ,pm,s(q)=m−1∑jζm−sj∑nτ(n)n−11/2(−1)p(n)(ζmjq)n\mathcal B_{\tau,p}^{m,s}(q)=m^{-1}\sum_j\zeta_m^{-sj}\sum_n\tau(n)n^{-11/2}(-1)^{p(n)}(\zeta_m^jq)^n
数値化条件
m=11,  s=4,  N=48,  r≤0.94m=11,\;s=4,\;N=48,\;r\le0.94
No. 57 Log magnitude / タウ・分割数円分組紐 対数絶対値 A
PATTERN 169 / 180 対数絶対値
可視複雑度87.789
H 0.436 · E 0.0107 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 57 Complex phase / タウ・分割数円分組紐 複素位相 B
PATTERN 170 / 180 複素位相
可視複雑度33.093
H 0.717 · E 0.0107 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 57 Normalized derivative field / タウ・分割数円分組紐 正規化微分場 C
PATTERN 171 / 180 正規化微分場
可視複雑度48.935
H 0.461 · E 0.0104 · VALID 99.5% · RANKING対象

人工円分組紐。

58
探索ノート固有実験

エータ・アイゼンシュタイン尺度商

Eta–Eisenstein Scale Quotient

Eisenstein尺度比とEuler積八乗比を相互変調する。

公式
Qη,E(q)=E4(q)E4(q2)−1[ϕ(q2)/ϕ(q)]8\mathcal Q_{\eta,E}(q)=E_4(q)E_4(q^2)^{-1}[\phi(q^2)/\phi(q)]^8
数値化条件
N=32,  r≤0.72N=32,\;r\le0.72
No. 58 Log magnitude / エータ・アイゼンシュタイン尺度商 対数絶対値 A
PATTERN 172 / 180 対数絶対値
可視複雑度0.000
H 0.361 · E 0.0046 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 58 Complex phase / エータ・アイゼンシュタイン尺度商 複素位相 B
PATTERN 173 / 180 複素位相
可視複雑度28.997
H 0.634 · E 0.0114 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 58 Normalized derivative field / エータ・アイゼンシュタイン尺度商 正規化微分場 C
PATTERN 174 / 180 正規化微分場
可視複雑度60.603
H 0.436 · E 0.0119 · VALID 99.5% · RANKING対象

modularityは主張しない。

59
探索ノート固有実験

素数・メビウス分母場

Prime–Möbius Denominator Field

素数二次指数を隣接する二種類の根格子とMöbius欠落で切る。

公式
Pμ(q)=∑p≤P, p primeμ(p−1)qp2/[(1−qp)(1+qp+1)]\mathcal P_\mu(q)=\sum_{p\le P,\,p\ prime}\mu(p-1)q^{p^2}/[(1-q^p)(1+q^{p+1})]
数値化条件
P=43,  r≤0.90P=43,\;r\le0.90
No. 59 Log magnitude / 素数・メビウス分母場 対数絶対値 A
PATTERN 175 / 180 対数絶対値
可視複雑度42.331
H 0.369 · E 0.0074 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 59 Complex phase / 素数・メビウス分母場 複素位相 B
PATTERN 176 / 180 複素位相
可視複雑度23.349
H 0.629 · E 0.0097 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 59 Normalized derivative field / 素数・メビウス分母場 正規化微分場 C
PATTERN 177 / 180 正規化微分場
可視複雑度27.143
H 0.459 · E 0.0089 · VALID 99.5% · RANKING対象

有限素数和。

60
探索ノート固有実験

大算術スペクトル場

Grand Arithmetic Spectral Field

tau-partition疎場、Möbius Lambert場、Ramanujan和・分割指数場を相互結合する。

公式
G(q)=Lτ(q)+αLμ(q)R12(q)+βLτ(q)R12(q)\mathcal G(q)=L_\tau(q)+\alpha L_\mu(q)R_{12}(q)+\beta L_\tau(q)R_{12}(q)
数値化条件
N=40,  α=0.35,  β=0.18,  r≤0.90N=40,\;\alpha=0.35,\;\beta=0.18,\;r\le0.90
No. 60 Log magnitude / 大算術スペクトル場 対数絶対値 A
PATTERN 178 / 180 対数絶対値
可視複雑度76.957
H 0.446 · E 0.0092 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 60 Complex phase / 大算術スペクトル場 複素位相 B
PATTERN 179 / 180 複素位相
可視複雑度17.129
H 0.751 · E 0.0073 · VALID 100.0% · RANKING対象
No. 60 Normalized derivative field / 大算術スペクトル場 正規化微分場 C
PATTERN 180 / 180 正規化微分場
可視複雑度40.767
H 0.377 · E 0.0102 · VALID 99.5% · RANKING対象

第4群を束ねる総合人工関数。既知公式ではない。

02 / VISIBLE COMPLEXITY

一つの物差し。
全180結果。

画像内の色の多様さと、隣接する色がどれだけ細かく変化するかを組み合わせ、0–100の値にしました。A・B・Cでは色の作り方が異なるため、順位は同じ表示方式の中だけで比較します。輪郭だけのバーは有効な計算領域が90%未満で、順位対象外です。

100 × √(Hn × En)atlas-visible-complexity-v1 · 0—100

何を数えているか

0–100 scoreは、正規化したentropyとedge energyの幾何平均。一方だけを増やしても高得点にはならない。描画された色場の統計であり、数学的難度を測る値ではない。

固定契約：atlas-visible-complexity-v1 · A/B/C別anchor · 有効coverage 90% gate
A

対数絶対値

58 ranking対象 · 2 coverage gate

  1. 0110 93.475
  2. 0207 93.386
  3. 0304 90.813
  4. 0403 90.365
  5. 0516 90.312
  6. 0620 89.045
  7. 0757 87.789
  8. 0849 84.817
  9. 0956 83.563
  10. 1022 81.035
  11. 1142 77.710
  12. 1206 77.158
  13. 1360 76.957
  14. 1455 76.799
  15. 1514 76.471
  16. 1635 74.172
  17. 1752 73.730
  18. 1841 72.938
  19. 1919 71.652
  20. 2026 69.773
  21. 2115 69.582
  22. 2247 68.516
  23. 2343 67.468
  24. 2448 65.832
  25. 2530 65.423
  26. 2631 62.498
  27. 2738 60.699
  28. 2817 59.588
  29. 2908 57.577
  30. 3033 56.884
  31. 3121 55.842
  32. 3250 54.639
  33. 3309 50.366
  34. 3432 49.987
  35. 3518 49.080
  36. 3629 46.059
  37. 3746 44.138
  38. 3859 42.331
  39. 3944 35.755
  40. 4028 35.118
  41. 4145 30.573
  42. 4253 30.483
  43. 4337 29.649
  44. 4425 28.314
  45. 4540 27.095
  46. 4624 26.959
  47. 4701 14.833
  48. 4839 14.654
  49. 4902 14.467
  50. 5013 9.076
  51. 5134 5.784
  52. 5212 4.096
  53. 5311 1.074
  54. 5405 0.000
  55. 5523 0.000
  56. 5651 0.000
  57. 5754 0.000
  58. 5858 0.000
  59. —27 N/R
  60. —36 N/R
B

複素位相

58 ranking対象 · 2 coverage gate

  1. 0107 100.000
  2. 0203 95.711
  3. 0322 87.633
  4. 0447 85.079
  5. 0508 82.834
  6. 0635 78.785
  7. 0756 77.475
  8. 0831 72.253
  9. 0920 52.441
  10. 1021 51.947
  11. 1149 42.485
  12. 1216 34.778
  13. 1357 33.093
  14. 1430 32.294
  15. 1552 31.960
  16. 1614 31.684
  17. 1755 30.823
  18. 1841 30.112
  19. 1954 29.759
  20. 2058 28.997
  21. 2142 27.046
  22. 2219 26.937
  23. 2337 25.783
  24. 2426 25.320
  25. 2518 23.478
  26. 2659 23.349
  27. 2704 23.289
  28. 2815 22.165
  29. 2906 21.334
  30. 3043 21.293
  31. 3110 21.213
  32. 3238 20.511
  33. 3309 20.001
  34. 3446 19.832
  35. 3540 19.276
  36. 3632 19.253
  37. 3729 19.044
  38. 3860 17.129
  39. 3933 15.284
  40. 4051 15.191
  41. 4124 14.563
  42. 4250 13.649
  43. 4348 11.800
  44. 4444 10.457
  45. 4517 10.267
  46. 4623 9.460
  47. 4753 9.212
  48. 4825 5.458
  49. 4928 4.911
  50. 5034 1.843
  51. 5145 1.727
  52. 5201 1.086
  53. 5302 0.204
  54. 5405 0.000
  55. 5511 0.000
  56. 5612 0.000
  57. 5713 0.000
  58. 5839 0.000
  59. —27 N/R
  60. —36 N/R
C

正規化微分場

58 ranking対象 · 2 coverage gate

  1. 0120 96.820
  2. 0221 92.903
  3. 0313 91.331
  4. 0448 88.258
  5. 0549 83.283
  6. 0641 73.537
  7. 0732 72.088
  8. 0814 70.872
  9. 0909 69.103
  10. 1042 67.420
  11. 1118 67.247
  12. 1216 66.934
  13. 1317 66.910
  14. 1447 65.695
  15. 1530 64.052
  16. 1619 63.740
  17. 1726 61.673
  18. 1801 61.518
  19. 1958 60.603
  20. 2039 59.301
  21. 2110 59.272
  22. 2224 58.866
  23. 2304 58.715
  24. 2429 58.327
  25. 2555 58.274
  26. 2612 58.206
  27. 2715 58.004
  28. 2831 55.203
  29. 2943 54.211
  30. 3034 53.346
  31. 3105 53.325
  32. 3253 52.956
  33. 3306 51.238
  34. 3445 51.209
  35. 3546 50.580
  36. 3652 50.531
  37. 3722 50.433
  38. 3857 48.935
  39. 3950 46.148
  40. 4056 44.233
  41. 4151 43.368
  42. 4211 42.322
  43. 4303 41.708
  44. 4402 41.547
  45. 4554 40.985
  46. 4660 40.767
  47. 4737 40.418
  48. 4840 40.028
  49. 4959 27.143
  50. 5028 18.193
  51. 5144 16.797
  52. 5233 12.147
  53. 5323 12.005
  54. 5425 3.730
  55. 5507 0.000
  56. 5608 0.000
  57. 5735 0.000
  58. 5838 0.000
  59. —27 N/R
  60. —36 N/R