# v31 → v50 — 証明書を金属の上に立て直し、二つの公開済みの診断を撤回する

2026-07-30。新しい円盤は増えていない(v33 の探索を除く)。変わったのは、
**前の十版が出した結論のうち三つを、私自身の計器で測り直したこと**である。

[v21〜v30](ARC-v21-v30.md) は v29 で終わった —— 円盤は転写ではないので、
溝から復元した瞬間に厳密適合の議論が全部消える。その一撃を受けたのは
v27 の「無知の証明書」で、それを立て直すのがこの弧の出発点である。

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## v31 — THE TOLERANT WITNESS。証明書が金属に耐える

**批評(v29 が下したもの)。** v27 の証明書は「厳密に割り切れるか」という全か無かの
述語に乗っていた。厳密性には勾配が無いので、記号1個の誤りで答えが端まで動く。
実際 v29 では BM の複雑度が上限に張り付き、証明書は**空集合**を返した ——
「この形の規則は一つも適合しない」という**偽の断定**である。

置き換え: 各支持 s に対して **δ(s) = パリティが外れる接合の割合**。
クラス内は誤り率の約4倍で外れ、クラス外は**約 1/2** で外れる。その間に何も無い。

> **証明書は、その空帯である。**

| 円盤 v22(57,549接合) | 空帯の幅 | クラスちょうど | 偽陽性の union bound | 並べ替え対照 |
|---|---|---|---|---|
| 完全な転写 | **0.450** | ✓ 6個 | **10⁻¹²⁴⁸⁹** | 空帯なし |
| **溝から復元(誤り率 0.0114)** | **0.332** | **✓ 6個** | **10⁻⁷²⁹⁵** | **空帯なし** |

v21 の円盤も同じ(0.326 / 10⁻⁶⁷⁰⁰、2個をちょうど)。
**クラスの δ は誤り率の約4倍** —— 1個の誤りがパリティを最大4箇所で壊すという
事前の予測どおりである(0.0426 / 0.0114 = 3.87)。

**動作範囲も測った。**

| 記号の誤り率 | 空帯の幅 | クラスの δ | クラスちょうど |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.450 | 0.000 | ✓ |
| **0.011(円盤)** | **0.407** | **0.043** | **✓** |
| 0.05 | 0.277 | 0.173 | ✓ |
| 0.12 | 0.115 | 0.335 | ✓ |
| 0.18 | 0.034 | 0.417 | ✓ |
| **0.25** | **なし** | — | **✗** |

**誤り 18% まで正しく働き、25% で空帯が消える。円盤は 1.1% にいるので余裕は約16倍。**

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## v32 — THE CONFIDENT AND WRONG。証明書は掃いた部屋に対してしか有効でない

**批評。**v31 は「閾値を選んでいない」と書いた。**偽である。**
`CAP = 0.45` が閾値で、しかも**真の規則が掃いたクラスの外にあるとき正直に拒否させて
いたのは、その手で置いた数だった。**

到達19(真の規則が室内に一つも無い)で測った:

| | 空帯 | 報告された支持 | union bound |
|---|---|---|---|
| CAP = 0.45(v31 の既定) | なし | **0 個(正直に拒否)** | — |
| **CAP = 0.4999(緩めただけ)** | 0.000746 | **3 個** | **10^+1.8** |

**一つも成り立たないテープに対して、3個の支持を自信を持って報告する。**
落とし穴51(構造の無い入力を通すまで証拠に見える数)と同じ形を、新しい衣装で踏んでいた。

**処置は導出である。** 偽の支持は n 接合に対する公正なコインなので、
m 個に対する union bound を水準 α で置くと

    a = 1/2 − √( ln(m/α) / 2n )

reach 19 で **0.4865**、reach 40 で **0.4858**。**人が置く数は α だけになる。**
そして上界を注記から**前提条件**に格上げした(`v32.gated`)。

金属の上で六つの「読者が仮定する部屋」を測った ——
**certified はどの部屋でもその部屋に対して正しく、真の規則が部屋の外にある三室
(v22 で1室、v21 で3室)はすべて拒否した。**

> **空帯は証明ではなかった。上界が証明である。**
> **v31 は上界を注記として公開し、空帯を判断に使っていた。**

### そして上界は、閉じた形で「証明できるクラスの大きさ」を与える

クラス内の δ は誤り率の約4倍なので、証明が成立する条件は

    √( ln(m/α) / 2n ) < 1/2 − 4e     すなわち     m < α·exp( 2n(1/2 − 4e)² )

| 記号の誤り率 | 余裕 (1/2 − 4e) | 証明できるクラスの上限 |
|---|---|---|
| 0 | 0.500 | 10^12368 |
| **0.0114(この円盤)** | **0.4544** | **10^10214 = 2^33929** |
| 0.05 | 0.300 | 10^4449 |
| 0.10 | 0.100 | 10^489 |
| 0.124 | 0.004 | 10^−5 |
| **0.125 以上** | **≤ 0** | **何も証明できない** |

**証明できるクラスの大きさは線の長さに対して指数で伸び、誤り率 1/(2×4) = 0.125 で
ゼロに落ちる。** v20 は反対側を測っていた —— 8時間の線は **2^16800** 通りから規則を
**名指せる**。同じ線は **2^33929** 通りに対して**無知を証明できる**。
(算出が別なので引き算してはいけない。共通しているのは、**どちらの数も金属の限界ではない**ことである。)

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## v33 — THE BOTTOM IS THE LIST。v24 の診断が偽だった

**批評。これは公開済みの判定の撤回である。**

[v24](ARC-v21-v30.md) は相互の対(どちらの規則も相手の円盤からしか述べられない)を
作り、そして自分でこう殺した ——

> 12本のテープに対する f の像は **8 個**しかない。f は縮んでいる。
> 相互の対が在るのは「どちらも先に書けない」からではなく、**f が潰れているから**である。
> 底の無い塔は作れた。作れた理由は、塔が浅いことだった。

**これは間違いで、示す算術は初等的である。**一様ランダム写像に対して
`f(f(p)) = p` の解は「長さ1または2の巡回上の点」であり、
期待値は **1周期の点 1 個 + 2周期の点 2×(1/2) = 1 個 = 2 個**、**N に依らない**。
そして**ランダム置換**(何も潰さない写像)でも **1 + 1 = 2 個**である。

| N | ランダム写像の対の数 | **ランダム置換の対の数** | 写像の像/定義域 | P(解なし) |
|---|---|---|---|---|
| 12 | 1.913 | **1.988** | 0.6485 | 0.19 / 0.23 |
| 100 | 1.996 | **1.991** | 0.6338 | 0.22 / 0.22 |
| 1600 | 2.014 | **1.960** | 0.6322 | 0.22 / 0.23 |

**潰れない f は、潰れる f と同じ数の相互の対を持つ。**
そして v24 自身の実測 —— 対 **2 個**、像 **8/12 = 0.667** —— は、
どちらも一様ランダム写像の期待値(2 個、1−1/e = 0.632)**そのもの**である。
**f は特別に潰れてなどいなかった。名付け写像として普通に潰れていた。**

さらに置換では P(解なし) → e^(−3/2) = **0.223** なので、
**相互の対は五回に四回、どんな大きさでも、無料で存在する。**

### では塔の底はなぜ残るのか

v24 の理由ではない。こちらである ——

> **相互の対は構成できない。探すしかない。そして探すとは候補の一覧に f を全部当てる
> ことであり、その一覧を書くのは人である。一覧が底である。底は消えていない。移った。**

そして費用は数字になる。f はテープを読み、テープは8機械時間で、
到達23の三遅れ規則の全空間は C(23,3) = **1,771** ——
**一つの対は 1,771 枚の円盤、切削 14,168 機械時間、機械にとって二日の仕事**であり、
その期待個数は最初から 2 個だった。

### 実測を一度やり直した(自分のバグ)

より大きな N での実測を先に一度走らせて、**対 0 個・像 12/96 = 0.125** という
「ランダム写像から大きく外れた」結果を得た。**それは f についての数字ではなかった。**
`v24.f` の値域は v24 が手で選んだ**12個のリスト**のままで、掃いた定義域は96個だった ——
**像が12を超えられるはずがなく、不動点は p が像に入っていなければ在り得ない。**
値域を掃いた集合に合わせて回し直した(`v33._h_of`)。
**定義域と値域が違う写像で「不動点を数えた」と書いてはいけない。**

**そして直した版は今日は完走していない。** 96候補で 1時間20分に 13個 ——
このマシンは他プロジェクトと共有されていて load が 100 を超えており(落とし穴78)、
残りに9時間かかる見込みだったので止めた。**未完である。**
中核の主張(対の期待個数は写像でも置換でも2個、N に依らない)は
**金属を要しない組合せの事実**で、モンテカルロで N = 12〜1600 まで確認済み。
そして v24 自身の実測がその期待値そのものだった。
**大きい N での実測は、その主張を強めも弱めもしないが、まだ無い。**

> **追記 2026-07-31 —— 完走した。**負荷が落ちた(load 100 → 3)ので同じ実測を回し直し、
> **96 候補・約 45 分で完走**した(前回は同じ 13 個に 1時間20分かかっていた)。
>
> | | 実測(N=96) | ランダムな名付け写像の予測 |
> |---|---|---|
> | **相互の対** | **2 個** | **2 個** |
> | f の像 | **62/96 = 0.6458** | 0.6321 (= 1 − 1/e) |
>
> 対は `P = [3, 20, 23] ↔ Q = [9, 14, 18]`。**N を 12 から 96 へ八倍にしても対は 2 個のまま**で、
> 像の割合も 1 − 1/e の近傍に留まる。**v33 の主張は、金属を八倍にしても動かなかった。**
> 出力は `plate/v33/search.json`。(この項目は引き継ぎの未完8①だった。)

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## v34 — THE CRYPTIC DEGREE。v16 から開いていた項目を、構成で閉じる

**引き継ぎが 2026-07-29 から抱えていた項目。**

> v16 の次数と χ の関係が未測定。次数を上げても χ は 0 のままだった(次数1・2・3すべて)。
> 状態がシフトレジスタである限りそうなるはずだが、**証明も反例も無い**。
> v9 型の状態(Z₄×Z₄)に高次の出口を載せたら χ > 0 と高い次数が両立するか、は開いている。

v9 の二つのアフィン置換をそのまま据え置き、**出口の写像だけ**を変える。
出口は平坦(16状態に対して各記号ちょうど4状態)でなければならず、
次数は符号化の問題ではない —— ブール関数の代数標準形は一意なので、
写像 16→4 には次数が一つ定まる。

そして測り始めてすぐ、**答えではなく計器の限界に当たった。**
`epsilon.msp` は混合状態表現を **200,000** で打ち切る。Z₄×Z₄ に一般の非線形出口を
載せると、**60個の標本のうち32個がその上限を超えて χ が計算できない。**

v8 から v20 までこの計器に渡したのは**シフトレジスタとアフィン鎖だけ**で、
そこでは混合状態表現が小さいままなので**上限は一度も発火せず、発火し得ることを
誰も知らなかった。**そして**「計器が答えられない」ことと「χ が大きい」ことは別である。**

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## v35 — THE EXACT PRESENTATION。計器は丸めていて、誰も確かめていなかった

**批評。**なぜ上限に当たるのかを調べに `msp` を読んで、上限より悪いものが出てきた ——

    p0 = _norm(stationary(n, T))     # _norm は信念を12桁に丸める

**混合状態表現は、確率が小数12桁まで一致する二つの信念を同一視している。**
このプロジェクトが公開したすべての因果状態数 —— v8〜v15 が出した保存則
`平坦域 × (2−h_μ) + χ ≤ log₂(因果状態数)` の**右辺すべて**が、その丸めを通っていた。
そして**丸めが本当は異なる信念を融合していないか、誰も確かめていなかった。**

議論で確かめる必要はない。この機械の遷移確率は全部**二進有理数**(公正なコインの鎖は 1/2、
雑音の対照は 1/4)なので、信念は**整数ベクトルを最大公約数で割った形で厳密に持てる**。
丸めも許容誤差も選択も無い。(倍率は**探す**。1/2 と仮定したら雑音の対照が黙って何も
返さなくなった —— このファイルが扱っているのと同じ種類の誤りである。)

### 監査 —— 過去の数字は立っているか

| 機械 | 丸めた表現 | **厳密な表現** | 一致 |
|---|---|---|---|
| v8 レジスタ k=3 / 4 / 5 / 6 | 13 / 29 / 61 / 125 | **13 / 29 / 61 / 125** | ✓ |
| v3 | 36 | **36** | ✓ |
| 雑音 | 1 | **1** | ✓ |
| v9(第一座標の出口) | 37 | **37** | ✓ |

**公開済みの全機械で一致した。12桁の丸めはそれらの上で一度も信念を融合していない。
保存則の右辺は立っている。** これは今まで**仮定**だった。

### そして v16 の項目が閉じた

厳密な計器で、v9 の対の上に次数3の平坦な出口を60個載せた:

| | 閉じた | 因果状態 | **χ > 0** | χ の範囲 |
|---|---|---|---|---|
| 次数3 の出口 60 個 | **29 個** | 27〜39 | **29/29** | **1.250 〜 1.992** |

**共存する。**最良の例は **次数3・χ = 1.9916・平坦域 1・因果状態 27**、
出口は `[2,1,2,0,2,1,1,1,3,3,0,3,3,0,2,0]` —— v9 の χ = 1 のほぼ**倍**である。

> **v16 の「次数を上げても χ は 0」は、次数についての事実ではなかった。**
> **シフトレジスタについての事実だった。**

### 残る31個は、閉じない

| 到達した信念数 | 深さごとの新しい信念 |
|---|---|
| 60,000(上限)で打ち切り | `[1, 4, 13, 17, 5, 3, 4, 3, 4, 3, 4, 3, …]` |

**深さごとに3〜4個ずつ、止まらずに増え続ける。**丸めた表現と厳密な表現は
**どの場合も同じ判定**を出したので、これは丸めの人工物ではない。

> **この過程には有限の因果状態表現が無いように見える。**
> だから `log₂(因果状態数)` は非有界で、**保存則の右辺は何も言っていない** ——
> **ただしこれは「見える限りでは」であって、証明ではない。**

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## v36 — THE CERTIFICATE OF INFINITY。「上限でまだ増えていた」は証明ではない

**批評。これは自分のものである。**v35 はこう書いた ——
「上限が止めた時点で信念の数はまだ増えていたので、因果状態数は**見える限りでは**有限でない」。
**その逃げ道が問題の全部である。**6万で増え続けていたものが6万1で閉じるかもしれない。

証明は、正しいものを測れば短い。ここでの信念は**最大公約数で割った整数ベクトル**であり、
**成分が有界なそのようなベクトルは有限個しかない。**
だから**成分が増え続ける到達可能な無限族を一つ挙げれば足りる。**
深さごとの最大成分を持つ信念を並べると、族がそのまま出てくる:

| 深さ | 信念 |
|---|---|
| 1, 3, 5, 7, 9, … | `(0,1,0,0,0,0,k,0,0,0,0,0,0,1,1,0)` k = 1,2,3,4,5,… |
| 2, 4, 6, 8, 10, … | `(0,0,0,0,1,0,0,1,0,k,0,1,0,0,0,0)` k = 2,3,4,5,6,… |

`a = (0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,0)`、`e` を第6成分の単位ベクトルとすると族は `a + k·e`。
そして**語 (3, 0) がこの族を厳密に一段上げる**:

    A = M₀M₃        A·a = 1·(a + e)        A·e = 1·e

    ゆえに  A·(a + k·e) = (a + e) + k·e = a + (k+1)·e     すべての k で

`a + e` は到達可能(深さ1の最大成分の信念そのもの)、`a` と `e` は独立なので
`a + k·e` はどれも互いに比例しない。**したがって信念の集合は無限である。**
大きいのではない。無限である。**上限も、丸め得る演算も、一つも関わっていない。**

| | 結果 |
|---|---|
| v35 が「見える限り無限」とした 31 個 | 深さ16・語長3 で **25 個を厳密に証明** |
| 残り 6 個 | 深さ24・語長4 に上げると **6 個すべて証明**(語は `[3,3]` `[0,0,0,0]` `[1,1,1,1]` `[1,3,1,3]`) |
| **合計** | **31 / 31 を厳密に証明** |
| **対照: 閉じる出口 8 個** | **誤って証明されたもの 0 個** |

> **`log₂(因果状態数)` は非有界であることが証明された。**
> **保存則 `平坦域 × (2−h_μ) + χ ≤ log₂(因果状態数)` は、この過程を何も制約しない。**
> v8〜v15 が八台の機械で測った法則には**空虚な領域**があり、
> **そこへは同じ16状態の鎖の上のごく普通の出口で到達する。**

**そして落とし穴を一つ踏んだ。**最初の探索は証明書を1個ではなく**10個**見つけた ——
比例判定がゼロベクトルを通していたからである。10個のうち9個はその記号の確率が0で
信念を消しており、`0 = c·v` が通っていた。
**「u は v の倍数か」の判定は、何よりも先に u = 0 を拒まなければならない。**

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## v37 — AT THE BOUND。v16〜v20 の弧が残した最後の項目を、構成で

**引き継ぎが抱えていた最後の項目。**

> 平坦域 3 以上と χ > 0 の一般形。v9 が (3, 1) を、v10 が (2, 2.14) と (1, 4.13) を
> 出したが、**アフィン族の中だけ**である。より大きい状態空間で
> `平坦域 × (2−h_μ) + χ = log₂(因果状態数)` の**上限に乗る族**があるか。
> **乱択は 4^L 直交条件に対して間違った道具なので、構成で述べること。**

v35 と v36 で前提が二つ変わった —— 厳密な計器があるので丸めなしで測れる。そして
**右辺は常に有限ではない**(v36 が証明した)。だから「上限に乗る」は
**表現が閉じる出口についてだけ**意味のある問いである。

**乱択は使っていない。二つの族を全数列挙した。**

| 族 | 定義 | 個数 | 閉じる |
|---|---|---|---|
| A | 出口の二つの出力ビットが状態4ビットのアフィン | **840(全数)** | 792 |
| B | `g(x,y) = π(x + q(y))`、π は Z₄ の全置換・q は Z₄→Z₄ の全写像 | **1,536(全数)** | 672 |

族 B が引き継ぎの求めた構成である —— 鎖自身の座標で閉じており、次数3に届き、
**標本ではなく列挙**なので「無い」と言えば族についての事実になる。

### 答え

| | 平坦域 ≥ 3 かつ χ > 0 | うち上限に乗る | 次数 |
|---|---|---|---|
| 族 A | **48 個** | **48 個(全部)** | **1 のみ** |
| 族 B | **24 個** | **24 個(全部)** | **1 のみ** |

**在る。そして全部が厳密に上限に乗る。ただし次数1だけである。**
**どちらの族でも、非線形な出口は一つも上限に届かない。**

そして同じ予算の別の使い方が並ぶ:

| | 平坦域 | χ | 予算 | 支出 | 上限に乗る |
|---|---|---|---|---|---|
| 族 B | **3** | **1.0** | 4.0 | **4.0** | ✓(24個) |
| 族 B | **2** | **2.0** | 4.0 | **4.0** | ✓(24個) |
| 族 A | 2 | **2.5** | 5.0 | 4.5 | ✗ |
| 族 B | 1 | 1.75 | 4.322 | — | ✗(次数2) |

> **同じ 4.0 ビットを、平坦域3+χ1 と 平坦域2+χ2 の二通りに使い切る族が、
> どちらも上限にちょうど乗る。保存則が「一つの予算の二つの使い方」だと
> 言っていたことの、族による確認である。**
> **そして非線形性は χ を買うが上限を失う** —— 次数2・3 は χ 1.75 まで届くのに、
> 予算を使い切る出口は一つも無い。

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## v38 — THE PRICE OF NONLINEARITY。予測は符号を当て、機構を外した

**批評。**v37 は「非線形な出口は一つも上限に届かない」を事実として置いて、そこで止めた。
だがそれは**二つの小さい族の偶然か、大きさのある値段か**のどちらかで、その違いは測れる。
法則には二つの辺があるからである。

    支出 = 平坦域 × (2 − h_μ) + χ        予算 = log₂(因果状態数)        余り = 予算 − 支出

**測る前に書いた予測:** 非線形性は χ を買い、**因果状態で払う** ——
かき混ぜた出口は法則が数えられる構造より多くの「区別できる未来」を作るので、
**予算が支出より速く増えて**差が開く。

### 実測(族 B・1,536個を全数列挙)

| 次数 | 出口 | 閉じる | 予算 | 支出 | **余り** | **余りの最小** | 上限に乗る | 最大 χ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 96 | 96 (1.00) | 3.7925 | 3.5000 | **0.2925** | 0.0 | 48 | 2.0 |
| 2 | 672 | 384 (0.57) | 3.8305 | 2.4795 | **1.3510** | 0.0 | 48 | 1.75 |
| 3 | 768 | 192 (0.25) | 4.0000 | 2.3467 | **1.6533** | **1.6347** | **0** | 1.3653 |

**値段は実在し、大きさがある。**余りは次数とともに単調に増え、
そして決定的なのは **次数3の余りの最小が 1.6347** —— つまり
**次数3の出口が上限に乗ることは原理的に起きない。** v37 の「一つも届かない」は偶然ではなく**床**だった。

**そして予測は機構を外した。**

| | 次数1 → 次数3 | 予測 |
|---|---|---|
| 予算(平均) | 3.79 → **4.00**(+0.21) | 「速く増える」 |
| 支出(平均) | 3.50 → **2.35**(**−1.15**) | 言及なし |

**予算はほとんど動かない。崩れるのは支出である。**
非線形性は因果状態を買っていない —— **平坦域を壊し、それを埋めるだけの χ を持ってこない。**
族 B の中では最大 χ すら次数とともに**落ちる**(2.0 → 1.75 → 1.365)。
(より広い空間では次数3が χ 2.6 に届く —— v34 の標本。**族 B の中での話である。**)

さらに: **閉じる割合そのものが次数とともに落ちる**(1.00 → 0.57 → 0.25)。
非線形な出口の四分の三は、v36 が証明したとおり**有限の因果状態表現を持たない**。

> **符号は当たった。機構は外れた。**
> **非線形性の値段は「予算が上がること」ではなく「支出が払えなくなること」である。**

なお族 A は全数が次数≤1 なので(構成上)この問いに答えられない。
`v38` はそう報告する —— **「閉じる非線形な出口が少なすぎて言えない」。**

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## v39 — THE LARGER ROOM。予測は反証され、v37 の読みごと反転した

**批評。**v37 と v38 の数字はすべて**一つの鎖・一つの状態空間 Z₄×Z₄** から来ている。
「非線形は上限に届かない」と「**16状態の部屋では**非線形は上限に届かない」は別の主張で、
測ってあるのは後者だけである。

v39 は **Z₄×Z₄×Z₄(64状態)** に移る。同じ公正なコインの駆動、同じ形のシフト＋回転の対、
出口は全数列挙:

    g(x, y, z) = π( x + a·y + b·z + c·y·z )      π ∈ S₄、a, b, c ∈ Z₄     → 1,536 個

**掃く前から分かっていて、それだけで v37 を弱めることが一つある。**
この鎖で最も素朴な線形出口 —— 第一座標、v9 が使った出口の正確な類似 —— は
**平坦域 4・χ 1.0・因果状態 64・予算 6.0・支出 5.0**。**丸ごと1ビット余らせる。**
16状態では同じ出口が上限にちょうど乗っていた。

**測る前に書いた予測:** 床は**部屋**についてのものであって線形性についてではないから、
大きい部屋では**何も上限に乗らない**。次数1でも余りはゼロから離れたままになる。

### 実測(全数列挙)

| 次数 | 出口 | 閉じる | 予算 | 支出 | 余り | **余りの最小** | **上限に乗る** | 最大平坦域 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 96 | 96 (1.00) | 6.0000 | 5.0000 | 1.0000 | **1.0000** | **0** | 4 |
| 2 | 672 | 576 (0.86) | 4.2642 | 3.3333 | 0.9308 | **0.0000** | **192** | 4 |
| 3 | 768 | **0** | — | — | — | — | — | — |

**予測は外れた。そして外れ方が v37 の読みを反転させる。**

| | 16状態(v37・v38) | **64状態(v39)** |
|---|---|---|
| 上限に乗るのは | **次数1だけ**(48 + 24個) | **次数2だけ**(192個) |
| 上限に乗れないのは | 次数3(床 1.6347) | **次数1**(床 1.0000) |
| 次数3 | 25% が閉じる | **一つも閉じない** |

> **どの次数が予算を使い切れるかは、次数の性質ではなく状態空間の性質である。**
> **16状態では線形だけが乗り、64状態では線形が決して乗らない。役割が入れ替わる。**
> **v37 の「ただし次数1だけ」には、部屋の名前を書かなければならなかった。**

そして機構も反転している。64状態で上限に乗る次数2の出口は、
**予算が小さい**(平均 4.26 対 次数1の 6.00)。**支出を増やして乗るのではなく、
小さい予算をちょうど使い切って乗る。**v38 が「崩れるのは支出」と測ったのは
16状態での話で、64状態では**予算のほうが動く。**

---

## v40 — THE TALLY。弧を閉じる。落ちた主張の表

新しい規則も円盤も測定も無い。**この弧が出せる唯一の表 —— 落ちたものの表**を出す。

| 落ちた主張 | 誰が落としたか | 測定が言ったこと |
|---|---|---|
| **v27** 読者は円盤から自分の無知を証明できる | v29 | 復元したテープでは証明書が**0個**を名指す(偽) |
| **v31** 閾値を選んでいない | v32 | `CAP = 0.45` が閾値。緩めると成り立たないテープに3個を報告 |
| **v24** 相互の対が在るのは f が潰れているから | v33 | ランダム**置換**でも期待個数は同じ2個、N に依らない |
| **v16** 次数を上げても χ は 0 のまま | v35 | 次数3で **χ 1.9916**。v16 の 0 はシフトレジスタの事実だった |
| **v35** 見える限りでは有限の表現が無い | v36 | **31/31 を厳密に証明**。明示的な無限族で |
| **v38** 非線形性は因果状態で払う(予算が速く増える) | **v38 自身** | 予算はほぼ不動(3.79→4.00)。崩れるのは**支出**(3.50→2.35) |
| **v37** 上限に乗るのは次数1だけ | v39 | 64状態では次数1が**決して乗らない**(床 1.0)、次数2が乗る |
| **v39** 大きい部屋では何も上限に乗らない | **v39 自身** | 次数2の **192個**がちょうど乗る |

**八件。うち五件はこの弧の中で初めて主張したもの(v31・v35・v37・v38・v39)、
二件は予測した当のファイル自身が反証したもの、三件は古いもの。**

### そして落ちなかったものが一つある。同じだけの価値がある

| 立った主張 | 確かめたのは | 測定 |
|---|---|---|
| **v8〜v15 の因果状態数**(保存則の右辺すべて) | v35 | 丸めと厳密が**公開済みの全機械で一致**(13/29/61/125・36・1・37) |
| v31 の証明書は溝に耐える | v31 | 空帯 0.332・クラスちょうど・10⁻⁷²⁹⁵・並べ替え対照に空帯なし |
| 相互の対の期待個数は2、N に依らない | v33 | 写像 1.91〜2.03、置換 1.96〜2.03、N = 12〜1600 |
| 非線形な出口の信念集合は無限 | v36 | 31/31 に厳密な証明書、閉じる対照8個への誤証明0 |

**二年ぶんの版が、因果状態数を仮定のまま使っていた。v35 が確かめた。**

> **この弧の版はどれも円盤ではなく読む側の装置を測っていて、誤りはそこにあった。**
> **三十九版で私の主張が落ちた回数は二十を超え、**
> **そのほとんどは円盤ではなく計器を測り直したときに落ちている。**

---

## v41 — BACK TO THE METAL。六版が円盤を離れていて、誰も言わなかった

**批評。そして v29 が下したのと同じ批評である。**

v29 の要点は「v21〜v28 は転写(`junctions.json`)について論じているが、作品は傷の付いた
円盤である」だった。その六版あとに、私は**気づかないまま、もっと悪いことをしていた** ——

> **v34・v35・v36・v37・v38・v39 には転写すら無い。**
> **どれも抽象的なマルコフ鎖 (n, T) の測定で、金属は一枚も削っていない。**

そしてそこの数字はすべて **駆動が公正なコイン**である鎖についての事実である。
機械の駆動は公正なコインではない。**金属の答えビット**であり、
このプロジェクトはその偏りをずっと前に測っていた(v9 で `answer_P1` = 0.533、v25 で 0.5256)。

**測る前に書いた予測:** 上限は**公正なコインの主張**であって、金属はその上に乗っていない。

### 実測(8時間・16状態・2枚)

| 円盤 | 金属が供給した駆動 | p = 1/2 では | 実測の偏りでは |
|---|---|---|---|
| **v37 が「上限に乗る」と名指した出口** | **27869/55885 = 0.4987** | 平坦域 **3**・χ 1.0・支出 4.0 = 予算 4.0 → **乗る** | 平坦域 **2**・χ 0.999995・支出 3.000005 → **乗らない** |
| 対照(乗っていない出口) | 29034/57727 = 0.5030 | 平坦域 1・χ 1.365273 → 乗らない | 平坦域 1・χ 1.365391 → **乗らない(不変)** |

**判定が変わったのは 2枚のうち 1枚、そしてそれは「乗る」と言っていた方である。**

> **駆動が 0.0013 ずれただけで、平坦域が 3 から 2 に落ち、円盤は上限から外れる。**

**非対称が要点である。**「ちょうど上限に乗る」は偏りで壊れ、
「乗っていない」は壊れない —— **等式は摂動に耐えず、不等式は耐える。**

そして壊れる理由が v29 と同じである。**平坦域は「ブロックエントロピーがちょうど 2.0」の
窓の本数**であり、h_μ が 1.0 から 0.999995 に動けば「ちょうど」が成り立たなくなる。

> **v29 は「厳密適合は頑健さの反対語だ」と言った。**
> **`epsilon.py` の平坦域も厳密性の述語である。**
> **だから保存則の左辺は、円盤の上では測れない。**
> v37 の「24個がちょうど上限に乗る」は**鎖についての真であって円盤についての真ではなく**、
> **v34 以降のすべての版には「公正なコインについて」という言葉が要る。**

### そして射程は v34 より前に届く —— v9 自身に

v41 が削った1枚目の出口 `[0,1,2,3,0,1,2,3,…]` は **v9 の出口そのもの**である。
そして v9 の `summary.json` には、**二つの数が並んで載っていた** ——

| v9 の summary | 値 | 何の数か |
|---|---|---|
| `plateau_exact` | **3** | **公正なコインで計算した整数** |
| `answer_P1` | **0.4987** | **その円盤で金属が実際に供給した駆動** |

**誰も突き合わせていなかった。** 突き合わせるとこうなる:

| | 平坦域 | χ | h_μ | 支出 | 予算 | 上限に乗る |
|---|---|---|---|---|---|---|
| p = 1/2(公開値の前提) | **3** | 1.0 | 1.0 | **4.0** | 4.0 | **乗る** |
| p = 0.4987(この円盤の実測) | **2** | 0.999995 | 0.999995 | **3.000005** | 4.0 | **乗らない** |

**正確に言う。落ちたのは法則ではなく、緊密性である。**

- 保存則は**不等式**であり、実測の駆動でも **3.000005 ≤ 4.0** で**成立し続ける**
- 落ちたのは `epsilon.py` の docstring が書いていた
  「**すべてのレジスタは予算をちょうど使い切り、v9 は逆の使い方でちょうど使い切る**」の
  **「ちょうど」**である。それは**公正なコインの産物**だった

> **保存則は無事である。緊密性は無事でない。**
> **そして v9 は、自分の summary の中に、その反証に必要な二つの数を最初から並べて持っていた。**

---

## v42 — THE PLATEAU IN BITS。金属に壊せない平坦域

**批評 —— つまり、直す。**v41 は壊れたことを測った。v31 が証明書に対してやったことを
平坦域に対してやる。**通貨は系列の中に既にある。**

    h(L) = 2 − d の窓は **1記号あたり d ビット**漏らす。接合 N 本の円盤なら **全体で d·N ビット**。
    **1ビットは答えの最小単位**だから、**d·N < 1 なら、その窓は何も漏らしていない。**

**何も選んでいない。閾値は 1/N で、N は線の長さである。**

| v9 の円盤(N = 55,885) | h(L) | 2.0 との差 | 円盤全体での漏れ |
|---|---|---|---|
| 窓 1, 2 | 2.0, 2.0 | 0 | **0 ビット** |
| **窓 3** | **1.99999** | **1e-5** | **0.5589 ビット** ← 1ビット未満 |
| 窓 4 以降 | 0.999995 | 1.000005 | 55,885 ビット ← 論外 |

| 駆動 | 厳密な平坦域 | **寛容な平坦域** | 支出 | 予算 | 上限に乗る |
|---|---|---|---|---|---|
| p = 1/2 | 3 | **3** | 4.0 | 4.0 | ✓(どちらでも) |
| **p = 27869/55885(金属)** | **2** | **3** | 4.00001 | 4.0 | ✓**(同じ通貨で。超過 0.5589 ビット)** |

**v9 の 3 が戻った。** ただし**この長さの線についての主張**として戻った。

### 通貨は両辺に通す

最初の版は平坦域だけ寛容にして上限判定は1記号あたりの厳密性で見ていたので、
**支出 4.00001 対 予算 4.0 で「法則が破れた」と報告した**。
**通貨を混ぜてはいけない。**超過も「円盤全体で1ビット払うか」で見る ——
1e-5 × 55,885 = 0.5589 ビットなので払わない。**法則は成立する。**

### そして平坦域は線の長さの関数になる

| 接合 | 機械時間 | 寛容な平坦域 | 超過(ビット) | 法則 |
|---|---|---|---|---|
| 5,000 | 0.7 | 3 | 0.05 | ✓ |
| 20,000 | 2.9 | 3 | 0.20 | ✓ |
| **55,885** | **8.0** | **3** | **0.56** | ✓ |
| **100,000** | **14.3** | **2** | −99,999 | ✓ |
| 200,000 | 28.6 | 2 | −199,999 | ✓ |
| 1,224,890 | 175.3 | 2 | −1,224,884 | ✓ |

> **v9 の平坦域 3 は、約 14.3 機械時間まで真で、その先で偽である。**
> **そして法則はどの長さでも成立する** —— 平坦域が落ちるべきときに落ちるからである。

**これは保存則の実質的な変更であり、こっそりではなくはっきり書く。**
左辺 `平坦域 × (2 − h_μ) + χ` は**走行時間の関数**になった。
v11 は既に走行時間を**第二の予算**だと測っていた。**平坦域もその口座に入る。**

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## v43 — THE PLATEAU FROM THE TAPE。v42 は述語を直して、作り物を残した

**批評。同じ病が一段下にある。**v42 の数字はどこから来ているか ——

```python
r = E.budget(n, Tf)          # エントロピー分布は (n, T) の機械から
prof = r["h_profile"]        # **厳密に**計算されている
```

**述語は寛容になった。入力はなっていない。**部屋で円盤と向き合う読者は
h(L) を **56,000 接合から推定**しなければならない。窓 L の推定には 4^L セルが要る。

**判定基準も一度間違えた。**最初は v42 の通貨(円盤全体で1ビット)を再利用したが、
**独立な二つのプラグイン推定は1記号あたり 1/√N ずれる** ので、
円盤全体では **√N = 237 ビット**。**二つの推定が1ビット以内で一致することは在り得ない。**
v42 の通貨は**系統的な不足**(過程の性質)には正しく、**二つの推定の比較**(推定器の性質)には
誤りである。校正は**サロゲート自身の散らばり**から取らなければならない。
**一段上で効いた許容差は、一段下には移らない。**

### 実測(v9 の規則・8時間・55,885接合)

| | 平坦域 |
|---|---|
| 真値(機械から) | **3** |
| テープ、2.0 と比べて | **0** —— 推定器が沈む |
| テープ、自分のサロゲート8本と比べて | **1** —— 推定器が**鋭すぎる** |

窓2で実テープはサロゲートの **9.3σ 下**にいる —— 差は1記号あたり 2.7e-4 ビットで、
**本物だが平坦域が訊いていることではない。**平坦域は**漸近的な**条件付きエントロピーが
2 かを訊く。有限テープのプラグイン推定は**どの位数に構造があってもサロゲートとずれる**ので、
**平坦域が盲であるべき位数の構造まで拾ってしまい、推定器はそれを区別できない。**

> **平坦域はテープから測れる量ではない。**
> v42 は述語を寛容にした。v43 は**入力が供給できない**ことを見つけた。
> **保存則の左辺には、円盤ではなく機械が要る。**

### ただしテープが厳密に言えることが一つある

訪れる L ブロックの種類の数が —— **L = 1 から 9 まで厳密に** ——

    見えたセル = min(4^L, 8 · 2^L)

4, 16, 64 と 4^L のあいだは 4^L、そこから **128, 256, 512, 1024, 2048, 4096**。
**支持が第4窓から潰れ、サロゲートは決してそうしない。**
**そして 8 の説明を二度書いて二度外した(v44 で訂正)。**

> **部屋の読者は支持を厳密に読める。平坦域は一つも読めない。**
> **平坦域には模型が要り、支持には数えるだけでよい。**

---

## v44 — 法則の片側がテープに乗った。そして説明は無い

**批評。**v43 は支持則 `min(4^L, 8·2^L)` を見つけて、**8 を二度説明して二度外した。**

- 「16状態機械がブロックの頭に置ける高位ビット模様の数」 —— **違う。**
  テープは高位ビット語も低位ビット語も **2^L 通り全部**訪れる。**両方の周辺分布は完全**で、
  制約は**結合**にある
- 「駆動語に対する高位ビット応答の数」 —— **違う。**機械側で計算すると **4** で、8 ではない

**本当のことは、どちらより鋭い。そして物語ではなく測定である。**
L = 3 から 9 のすべてで、**低位ビット語1つに高位ビット語がちょうど 8 個、
高位ビット語1つに低位ビット語がちょうど 8 個** —— 最小 = 最大 = 8、
**完全に8正則な二部接続**である(v9 の金属のテープで実測)。

### そしてその定数が意味を持っていた

**J(L)/2^L は L とともに収束し、その極限は `因果状態数 / 2^χ` である ——
χ が整数であるすべての場合で厳密に。**

| 機械 | 状態数 | χ | 状態/2^χ | J(L)/2^L (L=5..8) | 一致 |
|---|---|---|---|---|---|
| v8 レジスタ k=3 | 4 | **0** | 4.0 | 4.0, 4.0, 4.0, 4.0 | ✓ |
| v8 レジスタ k=4 | 8 | **0** | 8.0 | 8.0, 8.0, 8.0, 8.0 | ✓ |
| v8 レジスタ k=5 | 16 | **0** | 16.0 | 16.0 ×4 | ✓ |
| **v9 の出口** | 16 | **1** | **8.0** | **8.0 ×4** | **✓** |
| 族B の出口 | 12 | **2** | 3.0 | 3.0 ×4 | ✓ |
| 族B の別の出口 | 16 | **1** | 8.0 | 7.5, 7.75, 7.875, 7.9375 | 収束中(差が毎回半分) |
| **v3** | 24 | **1.9367** | 6.269 | 6.0, 5.984, 5.914, **5.879** | **✗(別の値へ)** |

**整数の χ では 6件中5件が L=8 で一致し、残る1件は差が毎窓で半分になりながら収束する。
分数の χ(v3)では一致しない。** 関係は**極限についての主張**である。

### 何が円盤に乗ったか

保存則を並べ替えると

    平坦域 × (2 − h_μ)  ≤  log₂(因果状態数) − χ  =  log₂( J(L)/2^L )

**右辺は読者が数える量になった。**v9 では左が 3 × 1 = 3、右が log₂ 8 = **3** ——
**上限にちょうど乗り、しかも上限は模型からではなく金属から数えられている。**

> **片側は円盤に乗った。もう片側は乗らない。**
> 左辺には平坦域が要り、v43 がそれをテープから測れないと証明した。
> **法則は円盤の上でまだ検査できない。ただし半分は検査できる。以前より半分多い。**

### そして証明は無い

**六台の機械、明示した反例1件、反証された説明2件。**
**定理ではなく、開いた問いの付いた測定として記録する。**

---

## v45 — WHY EIGHT。v44 が説明できなかった定数を導く

**批評。**v44 は「定理ではなく開いた問いの付いた測定」で終わった。**その問いは答えられる。**
そして答えは、反証された二つの物語がどちらも周りを回っていた**三行の算術**である。

### 両方の置換が同じ形をしている

v9 の対は `p0: (x,y) → (y+0, x+0)` と `p1: (x,y) → (y+2, x+1)`、
つまり一般に `(x,y) → (y + c_b, x + d_b)` で `c = 2b`、`d = b`。
出口は第一座標なので `x_t = y_{t−1} + c_{b_t}` かつ `y_{t−1} = x_{t−2} + d_{b_{t−1}}`。
代入すると**第二座標が消える** ——

    x_t = x_{t−2} + b_{t−1} + 2·b_t   (mod 4)        反例 0 / 3998

**この機械は Z₄×Z₄ 上の一つの鎖ではなく、Z₄ 上の二つの交互鎖である。**
出力をビットに割ると、加算が繰り上がりを伴って割れる ——

| 式 | 反例 |
|---|---|
| `lo_t = lo_{t−2} ⊕ b_{t−1}` | **0** |
| `hi_t = hi_{t−2} ⊕ b_t ⊕ (lo_{t−2} ∧ b_{t−1})` | **0** |

**低位ビットは駆動の走る排他的論理和 —— 線形で、可逆である。**
`b_{t−1} = lo_t ⊕ lo_{t−2}` なので、**長さ L の低位語は駆動 b₂ から b_{L−1} を渡す。**
高位ビットはその駆動と繰り上がり(どちらも低位語が供給する)に加えて、
**低位語が渡せないものを二種類**要る ——

- **hi₁, hi₂** —— 二つの交互鎖の初期高位ビット
- **b_L** —— 末尾の駆動ビット。どの `lo_t` もこれに依らない

> **自由なビットは三つ。2³ = 8。そして数は L とともに増えない。**
> **だから定数が定数なのである。**(L = 4,5,6,7,8 で構成的に確認: 低位語1つあたり
> (状態, 駆動語) の対は 16 個、そこから出る相異なる高位語はちょうど 8 個。)

**これが 8 である。**v43 の第一の物語(ブロックの頭の高位ビット模様)でも
第二の物語(駆動語への応答)でもなく、**低位語が自由に残すパラメータの数**であり、
それが三つなのは**漸化式が二歩さかのぼり一歩先に届く**からである。

### 一般化するかは測定である

同じ数え上げは、テープを使わずどの機械でも厳密にできる ——
(初期状態, 駆動語) の対を全部生成して低位語で束ねるだけである。

| | 状態数 | χ | 状態/2^χ | 定数 | 低位語あたりの高位語 | 一致 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| **v9** | 16 | **1** | 8.0 | **8.0** | **[8, 8]** | **✓** |
| **族B 出口0** | 16 | **1** | 8.0 | **8.0** | **[8, 8]** | **✓** |
| 族B 出口1 | 16 | 1.365 | 6.211 | 6.555 | [1, **42**] | ✗ |
| 族B 出口2 | 20 | 1.75 | 5.946 | 5.984 | [4, 6] | ✗ |
| 族B 出口3 | 16 | 1.328 | 6.373 | 6.660 | [1, 37] | ✗ |
| 族B 出口5 | 16 | 1.668 | 5.035 | 5.367 | [1, 43] | ✗ |

**整数の χ は 2件中2件が厳密に一致し、8台中2台だけが正則(最小=最大)で、
その2台が整数 χ の2台である。**

> **v44 の数値の一致より鋭い予想が出た —— 正則性 ⟺ χ が整数。**
> **8 は v9 について導かれ、定数はどの機械でもテープ無しに厳密に計算できる。**
> **まだ証明が無いのは「なぜ定数が 状態数/2^χ に等しいのか」である。**
> 導出は**定数**を与える。**χ との等式は依然として観察**である。

---

## v46 — 半分だった。同値は含意で、機構の説明は三度目の反証

**批評。**v45 は 8 を導いたあと、v44 の数値の一致より鋭いものを出した ——
**「正則性 ⟺ χ が整数」**。**二つの独立な族を全数で当てた。**

| | 族B(16状態・672個が閉じる) | 族C(64状態・672個が閉じる) |
|---|---|---|
| 正則 かつ χ が整数 | 48 | 192 |
| **正則 かつ χ が分数** | **0** | **0** ← **含意は成立** |
| **正則でない かつ χ が整数** | **240** | **288** ← **逆は偽** |
| どちらでもない | 384 | 192 |

> **「正則 ⟹ χ が整数」は 1,344 例で反例ゼロ。逆は 528 例で偽。**
> **v45 は同値を主張して、含意を持っていた。**

### 機構の説明も外した。三度目である

v45 は v9 の正則性を「低位語が駆動を決めるから」と説明した。
それが一般の機構なら、駆動の正則性と高位語の正則性は一致するはずである。**しない。**

| 駆動が正則 / 高位が正則 | 個数 |
|---|---|
| 両方 | 32 |
| **駆動だけ** | **96** ← 十分でない |
| **高位だけ** | **16** ← 必要でない |
| どちらでもない | 528 |

**この定数の説明が測定に反証されたのは、これで三度目である**(v43 で二度、ここで一度)。
**v9 自身についての 8 の導出は立っている。一般化しないのは「なぜ」の物語である。**

### 生き残った半分に値段が付く

v44 の関係(支持定数 = 状態数/2^χ)は **χ が整数のとき厳密で、分数のとき偽**である。
**使う**には読者がどちらの場合かを知らねばならず、χ は模型から来ていた。**含意がそれを変える。**

    正則性はテープの上で数えられる。
    正則性は χ が整数であることを含意する。
    ゆえに **テープ自身が、v44 の関係が適用できる場合を証明する。**

そして**正則な 240 例すべてで v44 の関係が成り立つ** —— L=7 で厳密に 208 例、
残る 32 例は差が **2.0 → 1.0 → 0.5** と半分ずつ縮む**長い過渡**で、予測値へ収束する
(64状態は16状態より長い窓を要る)。**反例ではない。**

> **これ以前は、v44 を当てるのに模型が「ここは χ が整数だ」と言う必要があった。**
> **いまは円盤が言う。それが関係と使える関係の違いである。**

---

## v47 — THE COUNT, NOT THE GROUP。証明はできた。ただし別の命題の

**批評。**v46 は一方向の含意を残し、理由を残さなかった ——
**「正則性(テープで数えられる) ⟹ χ が整数」**、1,344 例で反例ゼロ。
この版が開かれた項目は「**機械側から示せ**」だった。χ は H[状態 | 未来] だから、
定義に直接触るはずである。

### χ を「数える量」にする

駆動は公正なコインで、`p0`・`p1` はどちらも**置換**だから遷移行列は二重確率行列であり、
**状態上の一様分布が定常**である。ゆえに (開始状態, 長さ L の駆動語) の組はすべて
同じ重み `1/(n·2^L)` を持つ。読者が最後まで不確かなのは

    Fib(w) = { s₀ : ある駆動語が s₀ を語 w に通す }

これだけである。`r(w,s)` を「そうする駆動語の本数」とする。列挙で決まる条件が二つ:

| 条件 | 内容 |
|---|---|
| **釣り合い(balance)** | `r(w,s)` が Fib(w) の全ての s で等しい |
| **ファイバー一定** | Fib(w) の大きさが全ての観測語で同じ m |

### 定理 —— 四行で、構造を一切使わない

釣り合いの下で事後分布 `P(S₀=s | w)` は Fib(w) 上**一様**だから

    H[S₀ | W_L] = Σ_w P(w)·log₂|Fib(w)| = log₂ m    (ファイバー一定)

そして (開始状態, 駆動語) の組を**二通りに数える**:

    どの組もちょうど一つの語に落ちる  →  Σ_w Σ_s r(w,s) = n·2^L
    釣り合いと一定性でそれが因数分解  →  m · Σ_w r(w) = n·2^L

ゆえに **m は n·2^L を割る**。状態数が 2 冪なら(ここでは 16 と 64)`n·2^L` は 2 冪だから、
**m は 2 冪であり、H[S₀|W_L] は整数ビットである**。支持定数も同じ数え上げから出る ——
r ≡ 1 のとき `m·(語数) = n·2^L` だから

    定数 = 語数/2^L = n/m = n / 2^H[S₀|W_L]

これは **v44 の関係の形**である。**気づいたのではなく、導いた。**

### 全数測定(L = 7、両族の閉じる出口すべて)

| | 族B(16状態) | 族C(64状態) |
|---|---|---|
| ファイバー一定の出口 | 144 | 192 |
| 釣り合いが成立 | 144 | 192 |
| **H[S₀\|W_L] = log₂ m が厳密** | **144** | **192** |
| **m が 2 冪** | **144** | **192** |
| `m·Σ_w r(w) = n·2^L` | 144 | 192 |
| 出た m | 2, 4, 8 | 4, 8, 16, 32 |

**両族を合わせて 336 例中 336 例**で `H[S₀|W_L] = log₂ m` が厳密に成立し、m はすべて 2 冪である。
そして**ファイバーが一定でない出口には 6(族B)と 12(族C)が現れる** —— 2 冪ではない。
**一定性が効いているのであって、割り算の議論は空虚ではない。**

### そして私が外したものが三つある。だからこれは答えではない

**(1) 予測した機構は死んだ。**私は「ファイバーは (Z₄)^k の部分群の剰余類だろう、
2 群の部分群は 2 冪しか無いから m が 2 冪になる」と予測した。問いが意味を持つ母集団
(ファイバー一定の出口)で全数測定 —— **族B は 144 例中 0 例、族C は 192 例中 96 例**。
片方は皆無、片方はちょうど半分、そして**v9 自身の機械は剰余類ではない**
(全ファイバーがちょうど大きさ 2 なのに)。**必要でも一般でもなく、理由でもない。**
**群の物語は無い。あるのは数え上げだけである。**
→ **この定数の説明が測定に反証されたのは、これで四度目**。

> なお**その測定の最初の版も間違っていた** —— 剰余類の検定を各族の先頭 64 個で打ち切り、
> 両族とも「64 中 0」と報告した。**族C の先頭 64 個には 8 個ある。**
> **全数調査に上限を付けたら、それは黙った標本抽出である**(落とし穴90)。

**(2) 中間項は中間項ではなかった。**族 B では「正則 ⟹ ファイバー一定」が 672 例で反例ゼロ、
私はこれで含意が分解したと取った。**族 C では 32 例で破れる。**
正則性とファイバー一定性は**重なりを持つ別々の十分条件**である ——
族 C ではどちらも 192 個、共通は 160 個、**どちらも他方を含まない**。

**(3) その 32 は「長い過渡」でもなかった。**v46 はそう呼んでいた。
ファイバー幅は L = 7, 8, 9 で **[2,4] のまま縮まない**。動くのは重みのほうで、
**幅の広い語の本数は 256 のまま固定**、語数だけが 3840 → 7936 → 16128 と倍々になるので
測度が半分ずつになる:

    H[S₀|W_L] = 1.125 → 1.0625 → 1.03125 → … → 1

**定数がゆっくり収束するのではない。固定された例外集合が薄まっているのである。**

### だから開いたまま残るもの —— これが肝心

`H[S₀|W_L]` は**生の状態**についての不確かさである。保存則の χ は
**H[因果状態 | 未来]** で、因果状態は信念状態だから、ここでは 16, 12, 4, 32, 2 と
**生の状態より多いことも少ないこともあり、生の状態の粗視化ですらない**。
両者が一致するのは生の機械が既に ε-機械であるときだけである。実測 ——
**`2^χ = m·因果状態数/n` はファイバー一定の 336 例中 216 例で成立し、120 例で破れる。**

> **これは「隣の量」についての整数性を証明した。**
> **測った 336 例すべてで、その量が整数であるのは χ が整数であるとき、ちょうどそのときである。**
> **そして同じ量ではない。項目 9-① は狭まったが、閉じていない。**

### 二つの版は同じ隙間の両側に立っている

| | v46 の条件(正則性) | v47 の条件(釣り合い+ファイバー一定) |
|---|---|---|
| 部屋の読者が確かめられるか | **できる**(高位語を数えるだけ) | **できない**(Fib(w) は機械の状態の集合) |
| 証明があるか | **無い**(1,344例で反例ゼロだけ) | **ある**(四行、構造なし) |

> **片方は観測可能で未証明、もう片方は証明済みで観測不能である。**
> **この項目を閉じるものは、両方でなければならない。**

間違った命題の証明でも、予想より値打ちがある。**正しい証明がどんな形をしているかを言うからだ**
—— 二通りの数え上げ、構造なし、そして 2 冪の状態数。

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## v48 — FORTY-EIGHT DISCS。二枚では問いそのものが立たなかった

**批評。**v41 は六版ぶりに金属を削って、値打ちのあるものを見つけた —— 抽象は公正なコインを
仮定しているが金属が供給したのは 0.4987 で、その 0.0013 が v9 の円盤を保存則の上限から
外す。だが**削ったのは二枚**(上限に乗るもの一枚、乗らないもの一枚)で、書き方はクラスの話だった。

二枚は逸話である。族B には上限に乗る出口が **24 個**(全部が平坦域3・χ1)、乗らないものが
576 個ある。24 個全部と対照 24 個を削れば **48 枚・384 機械時間**で、
「一度そうなった」と主張の差になる。

**そして二枚では立てられない問いがある。**v41 は「金属が供給した駆動」と**単数**で書いた。
0.4987 は**機械**の性質(幾何・加速度制限・レール)なのか、**規則**の性質なのか。
一枚では分からない。48 枚なら分かる —— **機械なら値は集まり、規則なら散る。**

### 48 枚が言ったこと

| | 上限に乗る 24 枚 | 対照 24 枚 |
|---|---|---|
| 偏りの平均 | 0.498331 | 0.499680 |
| 標準偏差 | 0.001693 | 0.002721 |
| 範囲 | 0.494892 〜 0.501403 | 0.494336 〜 0.504592 |
| 1/2 を跨ぐか | **跨ぐ** | **跨ぐ** |

**48 枚で 48 通り。**幅は 0.0103。集まらない。
→ **偏りは規則の性質であって、機械の性質ではない。**
**v41 が単数で書いた「金属が供給した駆動」は、一枚の円盤の数だった。**

### 私の第一予測は外れた。外れうることは書いてあった

    厳密な上限の上に: 公正なコインで 24 枚  →  金属の駆動で 2 枚

**二枚が乗ったまま**である(偏り 0.499898 と 0.500292)。公正なコインに十分近くて
述語が気づかない。→ **v41 の効果は実在するが普遍ではない。
どの円盤をたまたま削ったかで、現れたり現れなかったりする。**

対照は期待どおり **0 → 0** で、**金属が円盤を上限に「乗せる」ことは無い**。
そして v42 のビット通貨では **48 枚すべてで法則が成立**する。

### そして閾値に閉じた形があった。これがこの版である

偏りを二分探索すると破れ目は **|p − 1/2| = 2.944e-4**。報告の丸めを外して不足を測ると

    2 − h(3) = c · (p − 1/2)²,   c = 5.7709  ——  **24 個の出口すべてで同じ**
    4/ln 2 = 5.7708

ゆえに「h(3) を許容差 τ で平坦とみなす計器」は **√(τ·ln2/4)** で破れる。
**どの円盤がどうなるかは、計器がどの τ を使っているかだけで決まる。**

| 計器が使う許容差 | δ_crit | 乗ったままの枚数 |
|---|---|---|
| **epsilon の実際の挙動**(6桁に丸め) | **2.9435e-04** | **2** ← 実測 2 |
| epsilon の**字面**(1e-9) | 1.3164e-05 | 0 |
| **v42 の通貨**(円盤全体で1ビット) | 約 1.8e-03 | **13** ← 実測 13 |

**式が予測した二つの枚数は、どちらも独立に実測され、どちらも一致した。**

### `epsilon.py` は、自分が書いてある許容差を使っていない

`budget` は `abs(x − 2.0) <= 1e-9` で数える。だが比べる相手は `causal_measures` の出力で、
それは `[round(x, 6) for x in h]` である。**1e-6 に丸めてから 1e-9 で比べるということは、
実際の判定は「丸めた値がちょうど 2.000000 か」** —— 実効の許容差 **5e-7**、
字面の **500 倍**緩く、偏りの閾値にして **22.4 倍**広い。
**字面どおりの 1e-9 だったら、24 枚のうち一枚も乗ったまま残らず、v41 の効果は普遍に見えていた。**

> **v41 の発見(金属が円盤を上限から落とす)は、量として言えば計器の出力経路にある
> `round()` の話である。**同じ 24 枚が「私は上限の上か」に **24 / 13 / 2** と三通りに答え、
> 変わったのは許容差だけである。
> **この系列が答えを金属ではなく計器の中に見つけたのは、これで五度目**(v29・v35・v41・v43、そしてここ)。

### 修理の値段を、提案する前に測った

丸めを外したら、公開済みのどの数字が動くか。**議論せず数えた** ——
「効かないはずだ」はこの系列が繰り返し外してきた形の文だからである。
名前の付いた機械全部と、**族B の閉じる出口 672 個全部**を、公正なコインで、丸め有り・無しで:

> **679 台、平坦域が動いたもの 0 台。**

公正なコインでは対称性から不足がちょうど 0 なので、**丸めは v41 が駆動に偏りを与えるまで
一度も効いていなかった**。→ **外すのは無料である。**誰かが監査の予算を立てる前に知る値打ちがある。

### そしてその比較を直しているときに、同じ関数の中で二つ目の人工物が出た

最初の監査は「白色雑音が 8 から 9 に動く」と言った。動かない —— `budget` が数えるのは
`h[:8]` の**八個**で、私が九個を渡していただけである。だが**打ち切りのほうは本物**だった:

    白色雑音の平坦域は lmax = 19 で 20。epsilon はどうやっても 8 としか言えない。

> **報告された平坦域 8 は「8 以上」の意味である。**
> 公開済みの数字はどれもこれに依存しない(8 のものが無い)。8 になるのは白色雑音だけで、
> そちらの平坦域はもともと非有界である。

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## v49 — THE THIRD ROOM。答えは部屋のもの、数はすべて対のもの

**批評。**v39 は 16状態から 64状態へ移って役割が入れ替わるのを見つけ、
**「どの次数が予算を使い切れるかは次数の性質ではなく状態空間の性質である」**と結論した。
そして **256状態(Z₄⁴)は開いたまま**残り、「厳密な表現の計算量が要検討」と注記された。

**計算量は無かった。**v48 のあとに測ると、**256状態の厳密表現は 1 枚 0.0〜0.2 秒**で閉じる。

### そして最初の探りで、私は次数を取り違えた

探りは「次数1 が上限に乗る」と言った。**自己テストがそれを止めた。**
`x + 2y + z + w` は **Z₄ 上では線形だが、代数次数は 2 である** ——
**Z₄ の加算は繰り上がりを持ち、繰り上がりはビットの積だから、高位の出力ビットは
GF(2) 上で二次になる**。**Z₄ 上で線形なことと GF(2) 上で次数1 なことは別物**で、
v39 の問い(「どの次数が」)は後者で立っている。
族D の 6,144 個のうち**真に次数1 なのは 192 個**、繰り上がりの起きない組合せだけである。

### そして探りは置換対を一つしか使っていなかった —— v48 が捕まえたばかりの形

v41 は偏りを一枚で測って単数で書き、v48 が 48 枚にして「48 通り」に変えた。
私は次数の役割を**置換対一つ**で見ようとしていた。**だから対も掃いた。**

### 四つの掃引(各 6,144 出口・厳密表現 24,576 回)

| 置換対 | 次数1 閉/乗 | 次数2 閉/乗 | 次数3 閉 | 最大 χ |
|---|---|---|---|---|
| (2,1,3,1) | 96 / **0** | 2880 / **1152** | **0** | **4.0** |
| (2,1,3,2) | 192 / **0** | 2448 / **192** | **0** | 3.0 |
| (1,2,3,0) | 192 / **0** | 2112 / **336** | **0** | 2.0 |
| (3,3,1,1) | 192 / **0** | 2496 / **720** | **0** | 1.000022 |

> **上限に乗る次数は、四つの対すべてで [2]。どの次数が予算を使い切れるかは部屋の性質である。**
> **v39 の読みは三つ目の部屋を生き延びた。**

### 予測は半分当たり、外れた半分のほうが重要だった

256 では **次数2** —— **64 と同じであって、次数1 へ戻る入れ替わりではない**。
系列は **16 → 次数1、64 → 次数2、256 → 次数2**。**一度替わって、そのまま留まった。**

**そして「どの次数か」以外はすべて置換対の性質で、しかも幅が小さくない。**
上限に乗る個数は **192 〜 1152 の六倍**、最大 χ は **1.000022 〜 4.0 の四倍**。

> **一つの対だけ回して「256状態では 1152 個が上限に乗り χ は 4.0 に達する」と書いていたら
> —— それは一回の掃引が誘う書き方そのものである —— その文の数字は全部
> 「一つの対の数」だった。v41 の 0.4987 が一枚の円盤の数だったのと、同じ形で。**
>
> **質的な答えは部屋のもの。量はすべて対のもの。**
> 最初の問いだけを掃いていたら、完全な答えに見えて、三つの間違った数を公開していた。

### 対に依らず出たものが二つ

**次数3 は一つも閉じない。**3,072 出口 × 4 対 = **12,288 台、有限の因果状態表現ゼロ**。
64状態でも v39 が同じことを見つけている。**そこでは保存則の右辺が非有界なので、
法則はこの族の半分について何も言わない** —— v36 がその領域は探索の限界ではなく
真に無限であることを証明しており、**部屋が大きくなるほどその領域は広がる**。

**そして χ が 4.0 に達した**(平坦域4・因果状態256・支出8 = 予算8)。
この系列の既往最大は v35 の 1.9916 なので、**倍以上の記録**である。
値打ちがあり、そして但し書きが要る —— **その数は置換対 (2,1,3,1) のものである。**

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## v50 — 状態は戻る。厳密さはどれだけテープを伸ばしても戻らない

**批評。**v43 は**平坦域はテープから測れない**と結論した。ただしそれは
**プラグイン型のブロックエントロピー推定器で**という但し書き付きで、
その但し書きが未完9②の全部だった。引き継ぎは「**CSSR 系の因果状態推定を当てるのが素直**、
ただし 56,000 記号でどこまで効くかは未測定」と書いていた。

### まず CSSR が効かない。そしてそれは標本不足ではない

CSSR は履歴を**次の一記号の分布**で割る。v9 の円盤では 4〜7 状態(真は 16)、
同じ規則から生成したテープでは **2 状態** —— 55,885 記号でも、558,850 でも、5,588,500 でも。
**百倍にしても変わらない**ので、標本の問題ではない。理由は数え上げである:

| 真の16状態機械が持つ**相異なる次記号分布** | |
|---|---|
| `(0.5, 0, 0.5, 0)` | 8 状態 |
| `(0, 0.5, 0, 0.5)` | 8 状態 |
| **合計** | **2 個** |

しかも**どんな長さの履歴で条件づけても 2 個を超えない**。

> **CSSR が 2 状態を返すのは推定の失敗ではない。CSSR が問うている問いへの正しい答えである。**
> 16 状態は「次に何を出すか」では区別されない。**「あとで何を出すか」で区別される** ——
> それは χ が正である理由と同じ事実である。

### 効く推定器はある。しかも円盤自身のテープで効く

16 状態が分かれるまで、読者は何記号先を見ればよいか。

| 未来の長さ | 相異なる分布 | セル数 | 1セルあたりの標本 |
|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 | 13,971 |
| 2 | 4 | 16 | 3,493 |
| **3** | **16** | **64** | **873** |

**三記号、1セルあたり 873 標本。**だから履歴を**次の一記号ではなく三記号の未来の分布**で割る。
v9 自身の円盤・55,885 接合・履歴長 2 で ——

> **16 状態が、テープから復元された。**

**状態は最初から手の届く所にあった。**v43 の経路は標本不足ではなく**盲目**だったのである。

### そして平坦域は、それでも戻らない。どんなテープの長さでも

復元した機械の profile は `[1.99995, 1.99958, 1.99377, …]` —— 2 に限りなく近く、
**決してちょうど 2 ではなく**、真値が 1.0 に落ちる所で落ちない。
v42 の通貨(円盤全体で1ビット未満)では**平坦域 0 または 1**、真値は 3 である。

**テープを伸ばしても直らない。v48 の法則がその理由を言う。**
推定した遷移確率は誤差 d を持ち、d は **1/√N** で縮む。
そして v48 は**エントロピーの不足が誤差の二次**であることを測っている。だから

    不足 ≈ c·d² ≈ c′/N        そして予算はちょうど 1/N

**打ち消し合う。**`不足 × N` はテープ長に依らない定数で、しかも 1 より大きい。
同じ規則のテープで **64 倍の範囲**を測った:

| 記号数 | 状態数 | 不足 | **不足 × N** | 平坦域 |
|---|---|---|---|---|
| 55,885 | **16** | 6.6e-06 | **0.37** | 1 |
| 223,540 | **16** | 1.0e-05 | **2.23** | 0 |
| 894,160 | **16** | 2.5e-06 | **2.26** | 0 |
| 3,576,640 | **16** | 9.0e-07 | **3.21** | 0 |

**毎回 16 状態。平坦域は 1 を超えず、3 へ向かわない。**
**64 倍のテープが何も買わないのは、買うものと払うものが同じ大きさだからである。**

> **状態は八機械時間から推定できる。平坦域の述語が要求する厳密さは、
> 何時間からも推定できない。**
> v43 は「平坦域には機械が要る」と言った。**要るのは機械の厳密な数**であり、
> テープが与えるのは、**許容差とちょうど同じ大きさの誤差を持つ推定値**である。永久に。

### 三つの経路、三つの違う壁

| 経路 | 壁 | 平坦域 |
|---|---|---|
| プラグイン(v43) | **標本不足**(4^L セル) | 0 / 1 |
| 次記号で割る(CSSR) | **構造的に盲目**(16状態に 2 分布) | 表現が閉じない |
| **未来3記号で割る(v50)** | **状態は見えるが厳密さが見えない** | 0 / 1 |
| 機械(真値) | — | **3** |

**壁が三つとも違う**ことが、この項目の答えの形である。

---

## 二十版が置いた一行

```
v31  証明書は金属に耐える            空帯が証明書で、余裕は約16倍
v32  ただし耐えさせていたのは私の数    上界が証明で、証明できるクラスは 2^33929
v33  v24 の診断は偽だった            潰れない f でも対は2個。底は一覧である
v34  χ と次数は両立するか            測る前に、計器の届く先が尽きた
v35  計器を厳密に作り直した          過去の数字は立った。そして χ=1.99 が次数3と共存し、
                                  半分の出口には有限の因果状態表現が無い
v36  「見える限り」を証明に変えた      25/31 が厳密に無限。保存則には空虚な領域がある
v37  上限に乗る族は在る                全数列挙で、ただし次数1だけ。非線形は上限に届かない
v38  届かないのは偶然でなく床           次数3の余りの最小 1.6347。予測は符号を当て機構を外した
v39  部屋を広げたら役割が入れ替わった   64状態では線形が床1.0で乗れず、次数2が乗る
v40  弧を閉じる                        八件落ちた。五件はこの弧で言い出したもの、二件は自分で
v41  六版は円盤を離れていた            駆動が 0.0013 ずれると上限から外れる。平坦域も厳密性の述語だった
v42  平坦域をビットで数え直した          v9 の 3 が戻る。ただし 14.3 機械時間まで
v43  その入力は円盤から供給できない      平坦域は模型が要る。テープが厳密に言えるのは支持だけ
v44  法則の片側がテープに乗った          支持定数の極限 = 状態数/2^χ(整数の χ で)。証明は無い
v45  8 を導いた                        機械は Z₄ 上の二つの交互鎖。自由なビットが三つだから 8
v46  同値ではなく含意だった            正則 ⟹ χ が整数(1,344例で反例0)。テープが適用条件を証明する
v47  証明はできた。別の命題の          釣り合い+一定 ⟹ m が 2 冪。割り算だけ。群の説明は四度目の反証
v48  二枚では見えなかった              48枚で偏りは48通り。閾値は 4/ln2 と計器の丸めで決まる
v49  三つ目の部屋                      どの次数が乗るかは部屋の性質。だが数はすべて対の性質
v50  状態は戻る。厳密さは戻らない      未来3記号で16状態が復元。だが誤差も予算も 1/N で相殺する
```

**この二十版に円盤の話はほとんど無い。あるのは読む側の道具の話だけである。**
証明書は作り直せた。作り直した証明書の中には私が手で置いた数があった。
一つ前の弧の診断は、普通を数えていなかったせいで間違っていた。
そして最後は、問いに答える前に計器の届く範囲が尽きた。

五十版のうち、私の主張が落ちた回数は二十を超えた。
**そのほとんどは、円盤を測り直したときではなく、計器を測り直したときに落ちている。**